Frobeniusove algebre in (1+1)-razsežne topološke kvantne teorije polja : delo diplomskega seminarja

Matevc, Andrej (avtor), Strle, Sašo (mentor)

V delu najprej predstavimo nekatere pojme iz teorije kategorij. Definiramo monoidalne kategorije, funktorje, naravne transformacije, monoide in komonoide ter na monoidalne kategorije uvedemo simetrično strukturo. Nato dokažemo izrek o univerzalnosti monoidalne kategorije končnih ordinalov. V nadaljevanju se seznanimo s pojmom kobordizma med orientiranima mnogoterostma in tvorimo kategorijo n-koborizmov, ki jo opremimo s strukturo simetrične monoidalne kategorije. Določimo še generatorje monoidalne kategorije 2-kobordizmov in najdemo zadostno zbirko relacij. Nadaljujemo obravnavo monoidalnih kategorij, kjer definiramo parjenje in Frobeniusov objekt, nato pa Frobeniusovo lastnost karakteriziramo s parjenjem. Dokažemo izrek o univerzalnosti simetrične monoidalne kategorije 2-koboridzmov in si pogledamo posebni primer tega izreka za vektorske prostore. Definiramo topološke kvantne teorije polja in Frobeniusove algebre ter natančneje opišemo pojem neizrojenega parjenja v kategoriji vektorskih prostorov. Nazadnje si ogledamo še nekaj zgledov topoloških kvantnih teorij polja.

• Jezik: Slovenski jezik
• Ključne besede: monoidalna kategorija, monoidalni funktor, monoidalna naravna transformacija, simetrična struktura, monoid, komonoid, Frobeniusov objekt, mnogoterost, orientacija, kobordizem, univerzalna lastnost, Frobeniusova algebra, topološka kvantna teorija polj
• Vrsta gradiva: Delo diplomskega seminarja/zaključno seminarsko delo/naloga
• Tipologija: 2.11 - Diplomsko delo
• Organizacija: FMF - Fakulteta za matematiko in fiziko
• Leto izida: 2024
• PID: 20.500.12556/RUL-159616
• UDK: 515.1
• COBISS.SI-ID: 201851139
• Datum objave v RUL: 14.07.2024

MATEVC, Andrej, 2024, Frobeniusove algebre in (1+1)-razsežne topološke kvantne teorije polja : delo diplomskega seminarja [na spletu]. Diplomsko delo. [Dostopano 17 maj 2025]. Pridobljeno s: https://repozitorij.uni-lj.si/IzpisGradiva.php?lang=slv&id=159616

Sekundarni jezik

• Jezik: Angleški jezik
• Naslov: Frobenius algebras and (1+1)-dimensional topological quantum field theories

Izvleček

We first introduce some concepts in category theory, defining monoidal categories, functors, natural transformations, monoids, and comonoids. We also equip monoidal categories with symmetric structure. Then, we prove a theorem describing the universality of the monoidal category of finite ordinals. Next, we define cobordisms between oriented manifolds and construct the symmetric monoidal category of n-cobordisms. We determine the generators of the category of 2-cobordisms and find a sufficient set of relations. Continuing with our treatment of monoidal categories, we define pairings and Frobenius objects. We then characterize the Frobenius property with pairings. Using this, we prove the theorem that describes the universality of the symmetric monoidal category of 2-cobordisms. We consider a special case of this theorem for the category of vector spaces. We define topological quantum field theories and Frobenius algebras, and then provide a more specific description of non-degenerate pairings. Finally, we explore some examples of topological quantum field theories.

• Ključne besede: monoidal category, monoidal functor, monoidal natural transformation, symmetric structure, monoid, comonoid, Frobenius object, manifold, orientation, cobordism, universal property, Frobenius algebra, topological quantum field theory