On properties and numerical computation of critical points of eigencurves of bivariate matrix pencils

Plestenjak, Bor (avtor)

We investigate critical points of eigencurves of bivariate matrix pencils $A+\lambda B +\mu C$. Points $(\lambda,\mu)$ for which $\det(A+\lambda B+\mu C)=0$ form algebraic curves in ${\mathbb C}^2$ and we focus on points where $\mu’(\lambda)=0$. Such points are referred to as zero-group-velocity (ZGV) points, following terminology from engineering applications. We provide a general theory for the ZGV points and show that they form a subset (with equality in the generic case) of the 2D points $(\lambda_0,\mu_0)$, where $\lambda_0$ is a multiple eigenvalue of the pencil $(A+\mu_0 C)+\lambda B$, or, equivalently, there exist nonzero $x$ and $y$ such that $(A+\lambda_0 B+\mu_0 C)x=0$, $y^H(A+\lambda_0B+\mu_0 C)=0$, and $y^HBx=0$. We introduce three numerical methods for computing 2D and ZGV points. The first method calculates all 2D (ZGV) points from the eigenvalues of a related singular two-parameter eigenvalue problem. The second method employs a projected regular two-parameter eigenvalue problem to compute either all eigenvalues or only a subset of eigenvalues close to a given target. The third approach is a locally convergent Gauss–Newton-type method that computes a single 2D point from an inital approximation, the later can be provided for all 2D points via the method of fixed relative distance by Jarlebring, Kvaal, and Michiels. In our numerical examples we use these methods to compute 2D-eigenvalues, solve double eigenvalue problems, determine ZGV points of a parameter-dependent quadratic eigenvalue problem, evaluate the distance to instability of a stable matrix, and find critical points of eigencurves of a two-parameter Sturm–Liouville problem.

• Jezik: Angleški jezik
• Ključne besede: zero-group-velocity point, 2D point, bivariate matrix pencil, singular two-parameter eigenvalue problem, 2D-eigenvalue, double eigenvalue, distance to instability, two-parameter Sturm-Liouville problem
• Vrsta gradiva: Članek v reviji
• Tipologija: 1.01 - Izvirni znanstveni članek
• Organizacija: FMF - Fakulteta za matematiko in fiziko
• Status publikacije: Objavljeno
• Različica publikacije: Objavljena publikacija
• Leto izida: 2026
• Št. strani: 36 str.
• Številčenje: Vol. 63, iss. 1, art. 6
• PID: 20.500.12556/RUL-177757
• UDK: 519.6
• ISSN pri članku: 0008-0624
• DOI: 10.1007/s10092-025-00677-6
• COBISS.SI-ID: 263609859
• Datum objave v RUL: 06.01.2026

Gradivo je del revije

• Naslov: Calcolo
• Skrajšan naslov: Calcolo
• Založnik: Springer Nature, Consiglio Nazionale delle Ricerche Istituto di Informatica e Telematica
• ISSN: 0008-0624
• COBISS.SI-ID: 513854233

Licence

• Licenca: CC BY 4.0, Creative Commons Priznanje avtorstva 4.0 Mednarodna
• Povezava: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.sl
• Opis: To je standardna licenca Creative Commons, ki daje uporabnikom največ možnosti za nadaljnjo uporabo dela, pri čemer morajo navesti avtorja.

Sekundarni jezik

• Jezik: Slovenski jezik
• Ključne besede: točka ničelne skupinske hitrosti, 2D točka, bivariatni matrični šop, singularni dvoparametrični problem lastnih vrednosti, 2D lastna vrednost, dvojna lastna vrednost, razdalja do nestabilnosti, dvoparametrični Sturm-Liouvilleov problem

Projekti

• Financer: ARIS - Javna agencija za znanstvenoraziskovalno in inovacijsko dejavnost Republike Slovenije
• Številka projekta: N1-0154
• Naslov: Verjetnostne metode za skupne in singularne probleme lastnih vrednosti

• Financer: ARIS - Javna agencija za znanstvenoraziskovalno in inovacijsko dejavnost Republike Slovenije
• Številka projekta: P1-0294
• Naslov: Računsko intenzivne metode v teoretičnem računalništvu, diskretni matematiki, kombinatorični optimizaciji ter numerični analizi in algebri z uporabo v naravoslovju in družboslovju