Okvir disertacije je teorija igre izdelovalec-lomilec, ki jo igrata dva igralca, Izdelovalec in Lomilec, na hipergrafu ${\cal H}$. Množica vozlišč hipergrafa ${\cal H}$ je igralna plošča, povezave hipergrafa pa so zmagovalne množice. Igralca izmenično izbirata do tedaj še neizbrano vozlišče hipergrafa. Zaradi velike splošnosti hipergrafov lahko zmagovalne množice definiramo tako, da odražajo veliko različnih situacij. Tudi zato je bila igra v zadnjih desetletjih razvita in obsežno proučevana ter je privlačna tema sodobne kombinatorike. V najbolj raziskanih različicah igre zmagovalne množice predstavljajo nekatere množice vozlišč ali povezav grafa z določenimi lastnostmi.
V tej disertaciji se osredotočamo na dominacijsko igro izdelovalec-lomilec (igra MBD) in na pristransko igro izdelovalec-lomilec, zlasti na pristransko monokromatično klično transverzalno igro (igra MCT). V teh verzijah igre igralca imenujemo Dominator in Zavlačevalka. Opredelimo zmagovalno število za oba igralca in določimo nekaj splošnih povezanih rezultatov za igro izdelovalec-lomilec. Razpravljamo o podobnostih in razlikah dominacijske igre izdelovalec-lomilec z Dominatorjevega in Zavlačevalkinega vidika ter določimo hitre zmagovalne strategije za oba igralca. Uvedemo tudi število SMBD, ki je najmanjše število potez, ki jih Zavlačevalka potrebuje za zmago, in dokažemo nekatere splošne lastnosti, vključno z razmerjem med številom SMBD in najmanjšo stopnjo grafa. Nato raziskujemo igro MBD na drevesih in predstavimo karakterizacijo za drevesa s številom SMBD $k$ za vsako pozitivno celo število $k$. Določene so tudi natančne formule za poti, gosenice, ciklov s pripeto potjo in večino subdividiranih zvezd. Poleg tega raziskujemo izid igre MDB na kartezičnih produktih poti in ciklov ter polnih dvodelnih grafov in podamo hitro zmagovalno strategijo za zmagovalca igre. Za igro $(a,b)$-MCT določimo prage za grafe brez trikotnikov, meje za prage za nepovezane unije grafov in prage za kartezične produkte poti in ciklov.
|
