Dualne bazne funkcije za Bernsteinove polinome : delo diplomskega seminarja

Rozman, Eva (avtor), Grošelj, Jan (mentor)

V delu je predstavljena Bernsteinova baza vektorskega prostora polinomov stopnje manjše ali enake $n$ in njene najpomembnejše lastnosti. Na kratko so opisane Bézierove krivulje in njihova uporaba v računalniško podprtem geometrijskem oblikovanju in de Casteljaujev algoritem kot stabilna metoda za iskanje vrednosti polinoma v dani točki. Izpeljana je eksplicitna formula za dualne bazne funkcije, predstavljene v obliki linearne kombinacije Bernsteinovih baznih polinomov, ter podan matrični zapis relacije med tema dvema bazama. Z dualnimi baznimi funkcijami vpeljemo dualne funkcionale, ki razpenjajo dualni vektorski prostor. Obravnavan je vektorski prostor polinomov stopnje manjše ali enake $n$ z ničelnimi robnimi pogoji in njemu prirejena Bernsteinova in dualna Bernsteinova baza. Na koncu navedemo še praktično uporabo dobljenih rezultatov, zvezno aproksimacijo po metodi najmanjših kvadratov, kjer za dano funkcijo $f$ iščemo tak polinom $p^*,$ ki minimizira drugo normo $\norm{f-p}.$

• Jezik: Slovenski jezik
• Ključne besede: Bernsteinova baza, dualna baza, dualni funkcionali, polinomska aproksimacija
• Vrsta gradiva: Diplomsko delo/naloga
• Organizacija: FMF - Fakulteta za matematiko in fiziko
• Leto izida: 2020
• PID: 20.500.12556/RUL-121513
• UDK: 517.9
• COBISS.SI-ID: 58724867
• Datum objave v RUL: 13.10.2020

Sekundarni jezik

• Jezik: Angleški jezik
• Naslov: Dual basis functions of Bernstein polynomials

Izvleček

In the paper the Bernstein basis of the vector space of polynomials of degree at most $n$ and its key properties are presented. The Bézier curves and their use in computer aided geometric design and the de Casteljau's algorithm as a stable method for finding value of polynomial in a given point are briefly discussed. An explicit formula for the dual basis functions expressed as linear combinations of Bernstein polynomials is derived and a matrix form of the relation between these two bases is given. With the Bernstein basis functions we introduce dual functionals which span the dual vector space. The vector space of polynomials of degree at most $n$ with boundary constraints is defined and both the Bernstein and the dual Bernstein basis of such space are derived. Finally, we provide a practical application of the results, the continuous least squares approximation, where, for a given function $f$, we search the polynomial $p^*$ that minimizes the second norm $\norm{f-p}.$

• Ključne besede: Bernstein basis, dual basis, dual functionals, polynomial approximation