Grupa obrnljivih elementov kolobarja Z_n

Miklavec, Tilen (avtor), Šparl, Primož (mentor)

V magistrskem delu proučujemo kolobarje in njihove grupe obrnljivih elementov. Obrnljivi elementi poljubnega kolobarja z enico namreč tvorijo grupo za pripadajočo multiplikativno operacijo. V posebnem primeru kolobarja Z_n gre za grupo obrnljivih elementov U_n, ki ji rečemo tudi grupa enot. Glavni namen magistrskega dela je predstaviti kolobar Z_n in ugotoviti, kateri znani grupi je izomorfna grupa obrnljivih elementov U_n. Zanima nas tudi, kdaj je ta grupa ciklična. V ta namen natančno opišemo strukturo grupe obrnljivih elementov U_n in jo zapišemo kot direktni produkt samih cikličnih grup. V magistrskem delu pokažemo tudi, kako si lahko z rezultati o strukturi grupe U_n pomagamo pri reševanju nekaterih kongruenčnih enačb.

• Jezik: Slovenski jezik
• Ključne besede: kolobar Z_n
• Vrsta gradiva: Magistrsko delo/naloga
• Tipologija: 2.09 - Magistrsko delo
• Organizacija: PEF - Pedagoška fakulteta
• Leto izida: 2019
• PID: 20.500.12556/RUL-109157
• COBISS.SI-ID: 12561225
• Datum objave v RUL: 26.08.2019

MIKLAVEC, Tilen, 2019, Grupa obrnljivih elementov kolobarja Z_n [na spletu]. Magistrsko delo. [Dostopano 26 april 2025]. Pridobljeno s: https://repozitorij.uni-lj.si/IzpisGradiva.php?lang=slv&id=109157

Sekundarni jezik

• Jezik: Angleški jezik
• Naslov: The group of units of the ring Z_n

Izvleček

In the master’s thesis we study finite rings and their groups of units. The invertible elements of an arbitrary ring with a multiplicative identity form a group for the corresponding multiplicative operation. In the special case of the ring Z_n, this is a group denoted by U_n, also called the group of units. The main purpose of the thesis is to introduce the ring Z_n and to determine, for each integer n, the well known group that the group of units U_n is isomorphic to. We also determine the necessary and suficient condition on n for the group U_n to be cyclic. To this end, we investigate the structure of the group of units U_n and show that we can write it as a direct product of certain cyclic groups. We also indicate how our results can be used for solving some congruence equations.

• Ključne besede: ring Z_n