izpis_h1_title_alt

Catalanova domneva : magistrsko delo
ID Kralj, Samo (Avtor), ID Šivic, Klemen (Mentor) Več o mentorju... Povezava se odpre v novem oknu

.pdfPDF - Predstavitvena datoteka, prenos (1,01 MB)
MD5: 87BCAFAD531418BFBF519D6484D3ECDF

Izvleček
Catalanova domneva pravi, da je $3^2-2^3=1$ edina rešitev enačbe $x^m-y^n=1$ za naravna števila $x$, $y$, $m$, $n$, kjer velja $m,n > 1$. Domnevo je leta 2002 dokončno dokazal Preda Mihailescu. V magistrskem delu predstavimo zgodovino reševanja Catalanove domneve in obravnavamo posamezne ključne rezultate. Tako dokažemo Catalanovo domnevo v primerih, ko je eden od eksponentov sodo število. Nadaljne reševanje Catalanove domneve sloni na rezultatih iz algebraične teorije števil in posebej teorije ciklotomičnih polj. Med drugim dokažemo Casselsov izrek o deljivosti, ki pravi, da če sta neničelni celi števili $x$, $y$ rešitvi enačbe $x^p-y^q=1$, kjer sta $p$ in $q$ lihi praštevili, potem $p$ deli $y$ in $q$ deli $x$. Dokažemo tudi Mihailescujev izrek o deljivosti, ki za isto enačbo pravi, da $q^2$ deli $x$ in $p^2$ deli $y$. Mihailescujev končni dokaz Catalanove domneve je sestavljen iz dveh delov. V magistrski nalogi v celoti predstavimo del, ko $p$ deli $q-1$ in del dokaza drugega dela, ko $p$ ne deli $q-1$, v katerem je uporabljena Rungeva metoda.

Jezik:Slovenski jezik
Ključne besede:Catalanova domneva, Casselsov izrek o deljivosti, Mihailescujev izrek o deljivosti, dvojni Wieferichov par, algebraično številsko polje, ciklotomično polje, grupni kolobar, ulomljeni ideal, Stickelbergerjev ideal
Vrsta gradiva:Magistrsko delo/naloga
Tipologija:2.09 - Magistrsko delo
Organizacija:FMF - Fakulteta za matematiko in fiziko
Leto izida:2024
PID:20.500.12556/RUL-160626 Povezava se odpre v novem oknu
UDK:511
COBISS.SI-ID:206168579 Povezava se odpre v novem oknu
Datum objave v RUL:01.09.2024
Število ogledov:115
Število prenosov:29
Metapodatki:XML DC-XML DC-RDF
:
Kopiraj citat
Objavi na:Bookmark and Share

Sekundarni jezik

Jezik:Angleški jezik
Naslov:Catalan's conjecture
Izvleček:
Catalan's conjecture asserts that $3^2-2^3=1$ is the only solution to the equation $x^m-y^n=1$ for natural numbers $x$, $y$, $m$, $n$, where $m, n > 1$. The conjecture was proven by Preda Mihailescu in 2002. In the thesis, we present the history of solving Catalan's conjecture and examine individual key results. We prove Catalan's conjecture in cases where one of the exponents is an even number. Further resolution of Catalan's conjecture relies on results from algebraic number theory, particularly the theory of cyclotomic fields. Among other things, we prove Cassels' divisibility theorem, which states that if nonzero integers $x$ and $y$ are solutions to the equation $x^p-y^q=1$, where $p$ and $q$ are odd primes, then $p$ divides $y$ and $q$ divides $x$. We also prove Mihailescu's divisibility theorem for the same equation, stating that $q^2$ divides $x$ and $p^2$ divides $y$. Mihailescu's final proof of Catalan's conjecture consists of two parts. In the master's thesis, we fully present the part where $p$ divides $q-1$ and a part of the proof of the second part when $p$ does not divide $q-1$, using Runge's method.

Ključne besede:Catalan’s conjecture, Cassels’ divisibility theorem, Mihailescu’s divisibility theorem, double Wieferich pair, number field, cyclotomic field, group ring, fractional ideal, Stickelberger’s ideal

Podobna dela

Podobna dela v RUL:
Podobna dela v drugih slovenskih zbirkah:

Nazaj