Racionalne funkcije v $d$ spremenljivkah nad poljem ${\mathbb F}$ so delne funkcije iz ${\mathbb F}^d$ v ${\mathbb F}$, ki jih lahko izrazimo s koordinatnimi funkcijami (spremenljivkami) in racionalnimi operacijami (seštevanje, množenje, deljenje). Nekomutativne racionalne funkcije v $d$ spremenljivkah nad ${\mathbb F}$ so delne funkcije, ki slikajo iz $d$-teric kvadratnih matrik iste velikosti v kvadratne matrike, ki jih lahko izrazimo s koordinatnimi funkcijami in racionalnimi operacijami. Take funkcije tvorijo obseg, v katerem je vsaka relacija med spremenljivkami posledica obstoja inverzov neničelnih elementov, zato obseg nekomutativnih racionalnih funkcij imenujemo tudi prosti obseg. Eden glavnih problemov teorije invariant je problem Emmy Noether – ali je, za dano delovanje končne grupe na prosto polje, polje invariant izomorfno prostemu polju? V disertaciji obravnavamo nekomutativno različico problema Emmy Noether – ali je, za dano delovanje končne grupe na prost obseg, obseg invariant izomorfen prostemu obsegu? Preučujemo delovanja končnih abelovih grup na proste obsege nad ${\mathbb C}$ in ${\mathbb R}$, ki so določena z linearnimi upodobitvami. Pokažemo, da je obseg njihovih invariant vedno prost. Definiramo kompletne upodobitve – družino linearnih upodobitev rešljivih grup, ki omogočajo induktivno razširitev rezultata o delovanjih abelovih
grup. Primera kompletnih upodobitev sta standardni upodobitvi simetričnih grup $S_3$ in $S_4$. Obravnavamo tudi multiplikativna delovanja končnih cikličnih grup – delovanja, ki so določena z avtomorfizmom proste grupe. Predstavimo nekaj zanimivih primerov invariant cikličnih grup nad ${\mathbb Q}$ in invariant splošne linearne grupe. V zadnjem delu disertacije obravnavamo grupe, ki imajo kompletne upodobitve – imenujemo jih popolnoma psevdo-nerazvejane grupe. Predstavimo lastnosti popolnoma psevdo-nerazvejanih grup in karakteriziramo popolnoma psevdo-nerazvejane $p$-grupe ranga največ pet.
|
