Bertrandova domneva : magistrsko delo

Blažič, Urša (avtor), Vavpetič, Aleš (mentor)

V magistrskem delu obravnavamo Bertrandovo domnevo, ki pravi, da za vsako naravno število $n$ obstaja vsaj eno praštevilo $p$, za katerega velja $n < p \leq 2n$. Podrobneje predstavimo nekaj najbolj znanih dokazov Bertrandove domneve - Erdősev, Ramanujanov in poenostavljen Ramanujanov dokaz. Erdősev dokaz temelji na oceni binomskega koeficienta, Ramanujanov dokaz pa izhaja iz prvega dokaza Bertrandove domneve, Čebiševega dokaza iz leta 1852. Poenostavljen Ramanujanov dokaz sta zapisala avtorja Meher in Ram Murty, ki sta domnevo dokazovala na enak način kot Ramanujan, le da sta se izognila uporabi Stirlingove formule. Opišemo tudi nekaj modifikacij Bertrandove domneve in njihovih uporab, med drugim Ramanujanova praštevila, ki jih Ramanujan uvede na koncu dokaza Bertrandove domneve.

• Jezik: Slovenski jezik
• Ključne besede: Bertrandova domneva, praštevila, Ramanujanova praštevila, praštevilski izrek
• Vrsta gradiva: Magistrsko delo/naloga
• Tipologija: 2.09 - Magistrsko delo
• Organizacija: FMF - Fakulteta za matematiko in fiziko
• Leto izida: 2022
• PID: 20.500.12556/RUL-141649
• COBISS.SI-ID: 124214019
• Datum objave v RUL: 04.10.2022

BLAŽIČ, Urša, 2022, Bertrandova domneva : magistrsko delo [na spletu]. Magistrsko delo. [Dostopano 26 april 2025]. Pridobljeno s: https://repozitorij.uni-lj.si/IzpisGradiva.php?lang=slv&id=141649

Sekundarni jezik

• Jezik: Angleški jezik
• Naslov: Bertrand's postulate

Izvleček

In the master's thesis, we study Bertrand's postulate, which states that for any given natural number $n$, there exists at least one prime number $p$ such that $n < p \leq 2n$. We present in more detail some of the most famous proofs of Bertrand's postulate - Erdős's, Ramanujan's and simplified Ramanujan's proof. Erdős's proof is based on estimation of the binomial coefficient. Ramanujan's proof derives from the first proof of Bertrand's postulate, Chebyshev's proof from 1852. Ramanujan's simplified proof was written by Meher and Ram Murty, who proved the postulate in the same way as Ramanujan, except they avoided using Stirling's formula in their proof. We also describe modifications of Bertrand's postulate and their applications, including Ramanujan's primes that Ramanujan introduces at the end of the proof of Bertrand's postulate.

• Ključne besede: Bertrand's postulate, prime numbers, Ramanujan primes, Prime number theorem