Variacijski račun in parcialne diferencialne enačbe : delo diplomskega seminarja

Brulić, Melisa (avtor), Saksida, Pavle (mentor)

Variacijski račun je področje, ki obravnava reševanje optimizacijskih problemov. Je tesno povezano s parcialnimi diferencialnimi enačbami. Po eni strani lahko z reševanjem pripadajoče parcialne diferencialne enačbe rešimo optimizacijski problem, po drugi pa lahko z obravnavanjem optimizacijske naloge pokažemo obstoj rešitve parcialne diferencialne enačbe. V delu definiramo osnovno nalogo variacijskega računa in izpeljemo Euler-Lagrangeevo enačbo. Predstavimo nekaj tipičnih primerov variacijske naloge, kot so problem najkrajše poti, problem brahistohrone in Plateaujev problem. Obravnavamo tudi direktno metodo, ki jo uporabljamo za dokaz obstoja minimuma funkcionala. V ta namen vpeljemo Hilbertove prostore in izpeljemo nekaj njihovih lastnosti, kot je šibka kompaktnost. To uporabimo na primeru, s katerim demonstriramo uporabo direktne metode in vpeljemo pojem šibke formulacije. Na koncu dokažemo Lax-Milgramovo lemo, ki zagotovi enolično šibko rešitev variacijskega problema.

• Jezik: Slovenski jezik
• Ključne besede: variacijski račun, parcialne diferencialne enačbe, direktna metoda, šibka formulacija, Lax-Milgramova lema
• Vrsta gradiva: Delo diplomskega seminarja/zaključno seminarsko delo/naloga
• Tipologija: 2.11 - Diplomsko delo
• Organizacija: FMF - Fakulteta za matematiko in fiziko
• Leto izida: 2022
• PID: 20.500.12556/RUL-139172
• UDK: 517.9
• COBISS.SI-ID: 120018179
• Datum objave v RUL: 01.09.2022

BRULIĆ, Melisa, 2022, Variacijski račun in parcialne diferencialne enačbe : delo diplomskega seminarja [na spletu]. Diplomsko delo. [Dostopano 19 maj 2025]. Pridobljeno s: https://repozitorij.uni-lj.si/IzpisGradiva.php?lang=slv&id=139172

Sekundarni jezik

• Jezik: Angleški jezik
• Naslov: Calculus of variations and partial differential equations

Izvleček

Calculus of variations is a field that studies optimization problems. On the one hand, optimization problems can be solved by solving the corresponding partial differential equation. On the other hand, we can use variational methods to study and solve partial differential equations. We define the basic variational problem and derive the Euler-Lagrange equation. We study some typical variational problems such as the shortest path problem, the brachistochrone problem and the Plateau problem. We also discuss the direct method which is used to prove the existence of the minimizer. For this purpose we introduce Hilbert spaces and derive some of their properties, such as weak compactness. We use this in an example to illustrate the direct method and to introduce the concept of the weak formulation and weak solution. Lax-Milgram lemma, which we prove in the end, guarantees existence and uniqueness of the weak solution.

• Ključne besede: calculus of variations, partial differential equations, direct method, weak formulation, Lax-Milgram lemma