O teoriji upodobitev končnih grup : delo diplomskega seminarja

Silovšek, Tjaž (avtor), Saksida, Pavle (mentor)

V diplomskem delu obravnavamo upodobitve končnih grup. Povemo, da je upodobitev homomorfizem iz grupe G v linearno grupo GL(V), stopnja upodobitve pa je enaka dimenziji prostora V. Nato povemo, kaj so G-invariantni podprostori in nerazcepne upodobitve. Definiramo ekvivalenčno relacijo med upodobitvami in dokažemo, da se nerazcepnost in razgradljivost ohranjata na ekvivalenčnih razredih. Prvi večji cilj je rezultat, da je poljubna upodobitev končne grupe ekvivalentna direktni vsoti nerazcepnih upodobitev. Nato s teorijo upodobitev dokažemo nekaj rezultatov iz linearne algebre. Dokažemo, da je poljubna nerazcepna upodobitev abelove grupe prve stopnje. Za konec si pogledamo karakterje upodobitev, to so preslikave, ki vsakemu elementu iz grupe priredijo sled njegove upodobitve. Pokažemo, da lahko s karakterji povemo, ali je upodobitev nerazcepna. Zadnji večji rezultat pa je, da je poljubna upodobitev ekvivalentna natanko eni direktni vsoti nerazcepnih upodobitev, pri čemer so posamezni elementi v vsoti določeni do ekvivalenčnega razreda natančno.

• Jezik: Slovenski jezik
• Ključne besede: končne grupe, upodobitve grup, nerazcepne upodobitve, karakterji upodobitev
• Vrsta gradiva: Delo diplomskega seminarja/zaključno seminarsko delo/naloga
• Tipologija: 2.11 - Diplomsko delo
• Organizacija: FMF - Fakulteta za matematiko in fiziko
• Leto izida: 2021
• PID: 20.500.12556/RUL-130948
• UDK: 512
• COBISS.SI-ID: 77512195
• Datum objave v RUL: 19.09.2021

SILOVŠEK, Tjaž, 2021, O teoriji upodobitev končnih grup : delo diplomskega seminarja [na spletu]. Diplomsko delo. [Dostopano 19 maj 2025]. Pridobljeno s: https://repozitorij.uni-lj.si/IzpisGradiva.php?lang=slv&id=130948

Sekundarni jezik

• Jezik: Angleški jezik
• Naslov: Representation theory of finite groups

Izvleček

In this work we deal with representations of finite groups. First, we say that a representation is a homomorphism from a group G to a linear group GL(V) and the degree of the representation is equal to the dimension of the space V. We then tell what G-invariant subspaces and irreducible representations are. We further define the equivalence relation between the representations and prove that the irreducibility and decomposability are preserved on the equivalence classes. The first major goal is to prove that any representation of a finite group is equivalent to the direct sum of irreducible representations. Then, with the theory of representations, we prove some results from linear algebra. We prove that any irreducible representation of the abelian group is of the first degree. Finally, we look at the characters of the representations. The character is a mapping that returns the trace of the representation evaluated at element for each element in the group. We show that we can tell with characters whether representation is irreducible. The last major result, however, is that any representation is equivalent to exactly one direct sum of irreducible representations, with the individual elements in the sum determined to the equivalence class exactly.

• Ključne besede: finite groups, group representations, irreducible representations, characters of representations