Riemannova funkcija ζ in razporeditev praštevil : delo diplomskega seminarja

Brilej, Katarina (avtor), Magajna, Bojan (mentor)

Riemannovo funkcijo zeta definiramo kot funkcijo kompleksne spremenljivke $s$, in sicer z vrsto $\zeta(s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$ za $\operatorname{Re}s > 1$, nato pa jo analitično razširimo na ${\mathbb C} \setminus \{1\}$. Pri tem si pomagamo s funkcijsko enačbo, v kateri je pomembna vloga funkcije gama. Tako razširjena funkcija zeta ima v točki 1 pol stopnje 1, v točkah $-2, -4, -6, \; \dots$ pa tako imenovane trivialne ničle. V nadaljavanju Riemannovo funkcijo zeta izrazimo kot neskončen produkt, imenovan Eulerjev produkt, in pokažemo, da $\zeta$ nima ničel na polravnini $\operatorname{Re}s \geq 1$. To dejstvo uporabimo v dokazu praštevilskega izreka, ki govori o asimptotični ekvivalenci funkcij $\pi (x)$ in $x / \ln(x)$, kjer s $\pi (x)$ označimo število praštevil, ki so manjša ali enaka danemu pozitivnemu realnemu številu $x$.

• Jezik: Slovenski jezik
• Ključne besede: Riemannova funkcija zeta, Poissonova sumacijska formula, izrek o praštevilih, neskončne vrste, neskončni produkti, Eulerjev produkt
• Vrsta gradiva: Delo diplomskega seminarja/zaključno seminarsko delo/naloga
• Tipologija: 2.11 - Diplomsko delo
• Organizacija: FMF - Fakulteta za matematiko in fiziko
• Leto izida: 2019
• PID: 20.500.12556/RUL-110107
• UDK: 511
• COBISS.SI-ID: 18739801
• Datum objave v RUL: 12.09.2019

BRILEJ, Katarina, 2019, Riemannova funkcija ζ in razporeditev praštevil : delo diplomskega seminarja [na spletu]. Diplomsko delo. [Dostopano 6 maj 2025]. Pridobljeno s: https://repozitorij.uni-lj.si/IzpisGradiva.php?lang=slv&id=110107

Sekundarni jezik

• Jezik: Angleški jezik
• Naslov: The Riemann ζ Function and the Distribution of Prime Numbers

Izvleček

We define the Riemann zeta function as a function of a complex variable $s$ with the series $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$ for $\operatorname{Re}s > 1$ and then extend it analytically to ${\mathbb C} \setminus \{1\}$. We use a functional equation in which the gamma function plays an important role. The extended zeta function has a simple pole in 1 and so-called trivial zeros in $-2, -4, -6, \; \dots$. Later on, we express the Riemann zeta function as an infinite product called the Euler product and show that $\zeta$ has no zeros on the half-plane $\operatorname{Re} s \geq 1$. We use this fact in the proof of the prime number theorem which describes the asymptotic equivalence of the functions $\pi (x)$ and $x / \ln (x)$, where $\pi (x)$ denotes the number of primes less than or equal to a given positive real number $x$.

• Ključne besede: Riemann zeta function, Poisson summation formula, prime number theorem, infinite series, infinite product, Euler product