O rangih matrik nad polkolobarjem : magistrsko delo

Rebernišek, Monika (avtor), Oblak, Polona (mentor)

Polkolobar $S$ je algebrska struktura z dvema notranjima operacijama $\oplus$ in $\odot$. Pri tem je $(S,\oplus)$ komutativni monoid z enoto $0_{S}$, $(S,\odot)$ monoid z enoto $1_{S}$, množenje je distributivno nad seštevanjem ter velja, da se vsak element iz $S$ pri množenju z $0_{S}$ zmnoži v $0_{S}$. Vendar pa ne obstajajo nujno inverzni elementi niti za $\oplus$ niti za $\odot$. V magistrskem delu bomo obravnavali polkolobarje, njihove lastnosti, različne primere in nekatere primere uporabe, predvsem optimizacijske. Osredotočili se bomo na polkolobarje matrik. Pri teh bomo definirali različne range, ki v splošnem med seboj niso enaki. Vemo, da je nad poljem veliko definicij rangov matrik, ki so med seboj ekvivalentne. Te ekvivalence pa ne držijo nujno za range matrik nad polkolobarjem. V delu bomo dokazali nekatere neenakosti ter pokazali na primerih, da enakosti v splošnem ne veljajo. Dokazali bomo tudi nekatere neenakosti, ki veljajo za rang vsote dveh matrik in za rang produkta dveh matrik.

• Jezik: Slovenski jezik
• Ključne besede: polkolobar, rang, matrika, polje, tropski polkolobar
• Vrsta gradiva: Magistrsko delo/naloga
• Tipologija: 2.09 - Magistrsko delo
• Organizacija: FMF - Fakulteta za matematiko in fiziko
• Leto izida: 2018
• PID: 20.500.12556/RUL-104460
• UDK: 512
• COBISS.SI-ID: 18458201
• Datum objave v RUL: 07.10.2018

REBERNIŠEK, Monika, 2018, O rangih matrik nad polkolobarjem : magistrsko delo [na spletu]. Magistrsko delo. [Dostopano 30 april 2025]. Pridobljeno s: https://repozitorij.uni-lj.si/IzpisGradiva.php?lang=slv&id=104460

Sekundarni jezik

• Jezik: Angleški jezik
• Naslov: Ranks of matrices over semirings

Izvleček

The semiring $S$ is an algebraic structure with two binary operations $\oplus$ and $\odot$, such that $(S, \oplus)$ is an Abelian monoid with identity $0_{S}$, $(S, \odot)$ is a monoid with identity $1_{S}$, multiplication is distributive over addition and $0_{S}$ is an absorbing element for multiplication. However, there might not exist inverse elements for $\oplus$ or for $\odot$. In this work we present semirings, their properties, various examples and some examples of applications, in particular in optimization. We concentrate on the semirings of matrices. We define different ranks of matrices over semirings, which in general do not coincide. We know that there are many equivalent definitions of ranks of matrices over the field. These equivalences need not hold for matrix ranks over the semiring. In this work we prove some inequalities among ranks and show by examples that the strict inequalities might apply. We also prove some inequalities that hold for the rank of the sums of two matrices and for the rank of the product of two matrices.

• Ključne besede: semiring, rank, matrix, field, tropical semiring