V disertaciji obravnavamo probleme iz kompleksne dinamike ter analize več kompleksnih spremenljivk. V uvodnem poglavju opišemo razvoj področja kompleksne dinamike skozi zgodovino in predstavimo pomembne rezultate s področja dinamike kompleksnih racionalnih funkcij. Podamo tudi motivacijo za posplošitev te teorije v višje dimenzije. V drugem poglavju obravnavamo regularnost Fatoujevih komponent holomorfnih endomorfizmov ▫$\mathbb{P}^k$▫ Pokažemo, da so v primeru ▫$k=1$▫ vse Fatoujeve komponente regularne ter da to v splošnem ne velja. V nadaljevanju primerjamo Juliajevo množico in nosilec Greenove ravnotežne mere. Dokažemo, da se nosilec Greenove ravnotežne mere ujema z Juliajevo množico natanko tedaj, kadar se ujemata na preseku z neko odprto množico. Iz dobljenih rezultatov lahko sklepamo, da so Fatoujeve komponente regularne, kadar sta si ti dve množici enaki. Podamo tudi primer omejene Steinove domene v ▫$\mathbb{C}^2$▫, katere regularizacija ni več Steinova domena. V tretjem poglavju je predstavljeno delo, ki je nastalo v sodelovanju s H. Petersom in J. E. Fornæssom. V njem obravnavamo invariantne Fatoujeve komponente holomorfnih endomorfizmov ▫$\mathbb{P}^k$▫. Povratne Fatoujeve komponente sta klasificirala Fornæss in Sibony. Ueda je dokazal, da punktiran disk ne more biti limitna množica in s tem tudi zaključil omenjeno klasifikacijo. Nedavno sta Lyubich in Peters klasificirala nepovratne invariantne Fatoujeve komponente, pod dodatno predpostavko, da je limitna množica enolična. Tako kot pri povratnih komponentah, so bili tudi v tej klasifikaciji znani vsi primeri razen punktiranega diska. V tem poglavju skonstruiramo preslikavo, katere limitna množica nepovratne invariantne Fatoujeve komponente je punktiran disk. S tem rezultatom tudi zaključimo klasifikacijo nepovratnih invariantnih Fatoujevih komponent v ▫$\mathbb{P}^2$▫. V nadaljevanju podamo več primerov endomorfizmov ▫$\mathbb{C}^2$▫ z nepovratnimi Fatoujevimi komponentami, na katerih orbite konvergirajo proti regularnemu delu poljubne analitične množice. V četrtem poglavju obravnavamo kompleksne mnogoterosti, ki jih je mogoče izčrpati s kopijami ▫$\mathbb{C}^n$▫. Take mnogoterosti imenujemo dolgi ▫$\mathbb{C}^n$▫ in so povezani s starim problemom unije Steinovih domen - angl. "union problem". Slednjega je ovrgel J. E. Fornæss, ki je skonstruiral zaporedje krogel, katerega unija ni Steinova mnogoterost. To idejo je kasneje uporabil Wold, ki je s pomočjo novih tehnik skonstruiral ne-Steinov Dolgi ▫$\mathbb{C}^2$▫. Iz dosedanjih rezultatov ni znano ali obstaja več različnih ne-Steinovih Dolgih ▫$\mathbb{C}^n$▫ in ali morda obstajajo taki, ki nimajo nobene nekonstantne holomorfne funkcije. V tem poglavju pozitivno odgovorimo na ta in še nekatera druga sorodna vprašanja. Predstavljeni rezultati so plod pogovorov s prof. Forstneričem. Fornæss in Peters sta v svojem delu preučevala Takensov rekonstrukcijski izrek za realne orbite kompleksnih polinomov. Dokazala sta, da lahko entropijo mere skoraj vseh polinomov, razberemo že iz njihovih realnih orbit. V zadnjem poglavju dokažemo, da njun rezultat velja za vsak polinom, katerega Juliajeva množica ni vsebovana v invariantni navpični premici. Kadar pa je Juliajeva množica vsebovana v invariantni navpični premici, je entropija realnih orbit enaka 0. Glavni rezultat tega poglavja je poseben primer Takensovega rekonstrukcijskega izreka za endomorfizme, za primer generičnih polinomov in projekcije na realno os. Slednji nam pove, da čeprav rekonstrukcijska preslikava ni injektivna, vseeno vsebuje dovolj informacij, da lahko obnovimo $2m + 1$ sliko prvotne preslikave.
|
