Reševanje linearnih diferencialnih enačb drugega reda s pomočjo potenčnih vrst

Šenkinc, Polona (author), Slapar, Marko (mentor)

Homogene linearne diferencialne enačbe drugega reda so enačbe oblike P(x) y^''+Q(x) y^'+R(x)y=0, kjer je x neodvisna spremenljivka. Takih enačb v splošnem ne znamo reševati. Rešiti znamo le take s konstantnimi koeficienti. Homogene linearne diferencialne enačbe drugega reda, ki imajo za koeficiente predvsem analitične funkcije, pa lahko rešujemo s pomočjo potenčnih vrst. Na začetku je tako navedenih nekaj lastnosti potenčnih vrst, ki jih uporabimo kasneje pri reševanju. Glede na vrednost funkcije P(x) ločimo dve vrsti točk, okoli katerih rešujemo diferencialne enačbe, navadne in singularne točke. Primer enačbe s singularnimi točkami je Eulerjeva enačba x^2 y^''+αxy^'+βy=0, kjer sta α in β realni konstanti. Na primeru Eulerjeve enačbe vidimo, da lahko rešitev zapišemo v določeni obliki, glede na vrednosti ničel karakteristične enačbe F(r)=r(r-1)+αr+β=0. Tako ločimo primere, ko sta ničli realni in različni, realni in enaki ali pa sta konjugiran kompleksni par. Na koncu si ogledamo še Besslovo enačbo x^2 y^''+xy^'+(x^2-ν^2 )y=0, kjer je ν konstanta in njene rešitve reda nič.

• Language: Slovenian
• Keywords: homogene linearne diferencialne enačbe drugega reda
• Work type: Bachelor thesis/paper
• Typology: 2.11 - Undergraduate Thesis
• Organization: PEF - Faculty of Education
• Year: 2016
• PID: 20.500.12556/RUL-86095
• COBISS.SI-ID: 11213897
• Publication date in RUL: 19.09.2017

ŠENKINC, Polona, 2016, Reševanje linearnih diferencialnih enačb drugega reda s pomočjo potenčnih vrst [online]. Bachelor’s thesis. [Accessed 13 April 2025]. Retrieved from: http://pefprints.pef.uni-lj.si/3877/

Secondary language

• Language: English
• Title: Solving linear differential equations of second order using power series

Abstract

Second-order linear homogeneous differential equations are mathematical equations of form P(x) y^''+Q(x) y^'+R(x)y=0 where x is an independent variable. In general, we can solve only equations with constant coefficients, and therefore cannot solve the equations in question. On the other hand, second-order linear homogeneous differential equations with coefficients in form of analytic functions can be solved with power series. In dissertation we discuss power series characteristics that we use for solving the equations in question. We can find a series solutions around two types of points, ordinary and singular points. Euler’s equation x^2 y^''+αxy^'+βy=0 is one of the examples where the equation has a singular point and α and β as real constants. When analysing Euler’s equation we find out that the form of the equations solution depends on zero value of characteristic equation (r)=r(r-1)+αr+β=0. There can be different or equal real zeroes or conjugated complex couple of zeroes. In the end, we analyse Bessel’s equation x^2 y^''+xy^'+(x^2-ν^2 )y=0 where ν is a constant with solutions of zero order.

• Keywords: second-order linear homogeneous differential equations