Vztrajnost lastnih podprostorov endomorfizma : magistrsko delo

Kosmač, Juš (author), Smrekar, Jaka (mentor)

Namen dela je predstaviti uporabo vztrajne homologije pri preučevanju diskretnih dinamičnih sistemov. Pojem vztrajnosti obravnavamo v bolj splošnem kategoričnem okviru kot pri klasični definiciji vztrajne homologije. Posvetimo se tudi algebraični korespondenci med vztrajnimi moduli nad poljem in končno generiranimi stopničenimi moduli nad kolobarjem polinomov v eni spremenljivki. Odraža se v enostavnem opisu vztrajnosti prek vztrajnega diagrama. Pojasnimo, kako lahko iz danega končnega vzorca točk in vzorčne preslikave, s pomočjo vztrajnosti lastnih podprostorov induciranega endomorfizma na homologiji, sklepamo o globalnem značaju neznanega prostora in preslikave. Podamo algoritem za izračun vztrajnega diagrama stolpa lastnih podprostorov in utemeljimo njegovo stabilnost. Preizkusimo ga na nekaj enostavnih primerih in pojasnimo vpliv različnih parametrov (npr. velikosti vzorca, prisotnosti šuma) na rezultate.

• Language: Slovenian
• Keywords: vztrajna homologija, diskretni dinamični sistemi, lastni podprostori endomorfizma
• Work type: Master's thesis/paper
• Typology: 2.09 - Master's Thesis
• Organization: FMF - Faculty of Mathematics and Physics
• Year: 2020
• PID: 20.500.12556/RUL-114873
• UDC: 515.1
• COBISS.SI-ID: 19119107
• Publication date in RUL: 22.03.2020

KOSMAČ, Juš, 2020, Vztrajnost lastnih podprostorov endomorfizma : magistrsko delo [online]. Master’s thesis. [Accessed 17 May 2025]. Retrieved from: https://repozitorij.uni-lj.si/IzpisGradiva.php?lang=eng&id=114873

Secondary language

• Language: English
• Title: Persistence of eigenspaces of an endomorphism

Abstract

The aim of this work is to show a use of persistent homology in the study of discrete dynamical systems. The notion of persistence is presented in a more general categorical setting compared to the standard definition of persistent homology. An algebraic correspondence between persistent modules over a field and finitely generated graded modules over the ring of polynomials in one variable is established. As a consequence, a simple description of persistence in terms of the persistent diagram is obtained. With the use of persistence of eigenspaces of an induced endomorphism on homology, a procedure is developed which allows us to describe the global behaviour of an unknown self-map just from a given finite sample of points and a sampled map. An algorithm to compute the persistent diagram of a tower of eigenspaces is given and its stability is proven. Lastly, it is tested on a few basic examples and the effect of different parameters (e.g. sample size, noise) on the results is explained.

• Keywords: persistent homology, discrete dynamical systems, eigenspaces of an endomorphism