Schwarzov princip zrcaljenja za harmonične funkcije : delo diplomskega seminarja

Novoselec, Matej (author), Drinovec Drnovšek, Barbara (mentor)

Realne harmonične funkcije, dveh realnih oziroma ene kompleksne spremenljivke, so na zvezdastih območjih realni deli holomorfnih funkcij. Lastnost povprečne vrednosti in gladkost holomorfnih funkcij se tako, na zvezdastih območjih, preneseta na harmonične funkcije. Zapisani lastnosti uporabimo pri reševanju Dirichletovega problema za enotski disk. Problem je osnova za vpeljavo pojmov Poissonovega jedra in Poissonovega integrala. Enoličnost in obstoj rešitve Dirichletovega problema, na omejenih enostavno povezanih območji, pa nam omogoča karakterizacijo harmoničnih funkcij prek lastnosti povprečne vrednosti. Omenjena karakterizacija je ključna pri dokazu Schwarzovega principa zrcaljenja za harmonične funkcije.

• Language: Slovenian
• Keywords: harmonična funkcija, Laplaceov operator, lastnost povprečne vrednosti, princip maksima, Dirichletov problem, Poissonovo jedro, Poissonov integral, Schwarzov princip zrcaljenja
• Work type: Final seminar paper
• Typology: 2.11 - Undergraduate Thesis
• Organization: FMF - Faculty of Mathematics and Physics
• Year: 2023
• PID: 20.500.12556/RUL-149827
• UDC: 517.5
• COBISS.SI-ID: 163981059
• Publication date in RUL: 10.09.2023

NOVOSELEC, Matej, 2023, Schwarzov princip zrcaljenja za harmonične funkcije : delo diplomskega seminarja [online]. Bachelor’s thesis. [Accessed 14 April 2025]. Retrieved from: https://repozitorij.uni-lj.si/IzpisGradiva.php?lang=eng&id=149827

Secondary language

• Language: English
• Title: Schwarz reflection principle for harmonic functions

Abstract

Harmonic functions of two real or one complex variable, defined on star-shaped domains, are real parts of holomorphic functions. Mean value property and smoothness of holomorphic functions are thus, on star-shaped domains, transferred to harmonic functions. We use mentioned properties to solve Dirichlet problem for unit disk. Problem is the basis for introduction of Poisson kernel and Poisson integral. Uniqueness and existence of solution for Dirichlet problem, on bounded simply connected domains, lets us prove characterization of harmonic functions with mean value property. Mentioned characterization is crucial in proof of Schwarz reflection principle for harmonic functions.

• Keywords: harmonic function, Laplace operator, mean value property, maximum principle, Dirichlet problem, Poisson kernel, Poisson integral, Schwarz reflection principle