Cayleyjev graf končnega kolobarja : delo diplomskega seminarja

Trdin, Meta (author), Dolžan, David (mentor)

Naj bo $K$ končen komutativen kolobar z enico $1 \ne 0$. Cayleyjev graf končnega kolobarja $K$ je graf, kjer so vozlišča vsi elementi kolobarja $K$. Vozlišči $a$ in $b$ pa sta sosedni, če je $a - b$ obrnljiv element, torej če je $a - b \in K^\ast$. Tak graf je očitno neusmerjen. V nadaljevanju jih bomo označili z $G_K$. Pokazali bomo, da vedno dobimo regularen graf, v primeru lokalnega kolobarja z maksimalnim idealom $I$ pa tudi poln večdelen graf, katerega deli so ekvivalenčni razredi v njegovem kvocientnem kolobarju. Obravnavali bomo tudi strukturo grupe njegovih avtomorfizmov in izračunali, da so vsi kolobarji, ki podajajo ravninski graf, izomorfni eni izmed štirih oblik.

• Language: Slovenian
• Keywords: Cayleyjev graf, lokalen kolobar, klika, regularnost
• Work type: Final seminar paper
• Typology: 2.11 - Undergraduate Thesis
• Organization: FMF - Faculty of Mathematics and Physics
• Year: 2022
• PID: 20.500.12556/RUL-140816
• UDC: 519.17
• COBISS.SI-ID: 122452739
• Publication date in RUL: 18.09.2022

Secondary language

• Language: English
• Title: Unitary Cayley graph of a finite ring

Abstract

Let $K$ be finite commutative ring with unity $1 \ne 0$. Vertices of the Cayley graph of a finite ring $K$ are the elements of $K$. Two vertices $a$ and $b$ are adjacent if and only if $a - b$ is unit in $K$ so if $a - b \in K^\ast$. Obviously that graph is undirected. Throughout this paper we label Cayley graph with $G_K$. We show that the graph is always regular and if we take local ring for $K$ with maximal ideal $I$ we get a complete multipartite graph whose partite sets are the cosets of $I$. We also determine the structure of its automorphism group. We compute all planar graphs and show that there are only four forms for $K$ in that case.

• Keywords: Cayley graph, local ring, clique, regularity