Approximations of 1-dimensional intrinsic persistence of geodesic spaces and their stability

Virk, Žiga (author)

A standard way of approximating or discretizing a metric space is by taking its Rips complexes. These approximations for all parameters are often bound together into a filtration, to which we apply the fundamental group or the first homology. We call the resulting object persistence. Recent results demonstrate that persistence of a compact geodesic locally contractible space $X$ carries a lot of geometric information. However, by definition the corresponding Rips complexes have uncountably many vertices. In this paper we show that nonetheless, the whole persistence of $X$ may be obtained by an appropriate finite sample (subset of $X$), and that persistence of any subset of $X$ is well interleaved with the persistence of $X$. It follows that the persistence of $X$ is the minimum of persistences obtained by all finite samples. Furthermore, we prove a much improved Stability theorem for such approximations. As a special case we provide for each $r>0$ a density $s>0$, so that for each $s$-dense sample $S \subset X$ the corresponding fundamental group (and the first homology) of the Rips complex of $S$ is isomorphic to the one of $X$, leading to an improved reconstruction result.

• Language: English
• Keywords: persistence, geodesic space, minimal homology basis, geodesic circle, Rips complex
• Typology: 1.01 - Original Scientific Article
• Organization: FMF - Faculty of Mathematics and Physics
• Year: 2019
• Number of pages: Str. 195-213
• Numbering: Vol. 32, iss. 1
• PID: 20.500.12556/RUL-115224
• UDC: 515.14
• ISSN on article: 1139-1138
• DOI: 10.1007/s13163-018-0275-4
• COBISS.SI-ID: 18410073
• Publication date in RUL: 18.04.2020

Record is a part of a journal

• Title: Revista matemática complutense
• Shortened title: Rev. mat. complut.
• Publisher: Servicio de Publicaciones, Universidad Complutense
• ISSN: 1139-1138
• COBISS.SI-ID: 16654937

Secondary language

• Language: Slovenian
• Title: Aproksimacije 1-dimenzionalne intrinzične vztrajnosti geodetskih prostorov in njihova stabilnost

Abstract

Standarden način aproksimacije ali diskretizacije metričnega prostora vključuje konstrukcijo Ripsovih kompleksov. Kolekcijo takih aproksimacij za vse parametre povežemo v filtracijo, na kateri uporabimo funktorja fundamentalne grupe ali prve homologije. Dobljenemu objektu bomo rekli vztrajnost. Pred kratkim dobljeni rezultati nakazujejo, da vztrajnost kompaktnega geodezičnega lokalno kontraktibilnega prostora $X$ vsebuje geometrijsko informacijo o prostoru. Taka vztrajnost po definiciji uporablja Ripsove komplekse na neštevno mnogo točkah. V tem članku pokažemo, da lahko kljub temu celotno vztrajnost $X$ dobimo iz ustreznega končnega vzorca. Poleg tega pokažemo, da je vztrajnost poljubnega končnega vzorca dobro prepletena z vztrajnostjo celotnega prostora. Iz teh ugotovitev sledi, da je vztrajnost prostora minimum vztrajnosti, dobljenih z uporabo končnih podprostorov. Poleg tega dokažemo precej izboljšan izrek o stabilnosti za aproksimacije s končnimi podmnožicami. Kot poseben primer lahko podamo za poljuben $r > 0$ gostoto $s > 0$, tako da je za vsako $s$-gosto podmnožico $S$ v $X$, pripadajoča fundamentalna grupa Ripsovega kompleksa $S$ pri $r$ izomofrna fundamentalni grupi Ripsovega kompleksa $X$ pri $r$, iz česar sledi izboljšan rekonstrukcijski rezultat.

• Keywords: vztrajnost, geodetski prostor, geodetska krožnica, Ripsov kompleks