Automorphism groups and elliptic complex geometry : doctoral dissertation

Ugolini, Riccardo (author), Forstnerič, Franc (mentor)

This dissertation presents the results obtained by the author during the course of his doctoral studies. The first two chapters provide a detailed introduction to the Andersén-Lempert theory which can be used as an introduction to the theory of holomorphic automorphisms of complex Euclidean spaces and more in general of Stein manifolds with the density property. The latter are complex manifolds admitting a large group of holomorphic automorphisms. Afterwards, we move to the original results concerning parametric jet interpolation by automorphisms. We first provide a complete picture in complex Euclidean spaces and then move to the more technical result for Stein manifolds with the density property. It is at this point that we focus on the topic of tame sets, recalling some of the classical theory developed by Rosay and Rudin and proceeding with the new results. Here, we will focus mostly on linear algebraic Lie groups and the action of holomorphic vector fields. Of particular importance will be the study of the ring of invariant functions for such vector fields. In the last chapter, we present questions that arose during the described research and suggest future lines of exploration in this field.

• Language: English
• Keywords: holomorphic automorphism, jet interpolation, tame set
• Work type: Doctoral dissertation
• Typology: 2.08 - Doctoral Dissertation
• Organization: FMF - Faculty of Mathematics and Physics
• Year: 2019
• PID: 20.500.12556/RUL-109968
• UDC: 517.5
• COBISS.SI-ID: 18808921
• Publication date in RUL: 11.09.2019

Secondary language

• Language: Slovenian
• Title: Grupe avtomorfizmov in eliptična kompleksna geometrija

Abstract

Disertacija vsebuje predstavitev originalnih rezultatov avtorjevega raziskovalnega dela, dobljenih tekom doktorskega študija. Prvi dve poglavji sta uvodne narave in vsebujeta povzetek nekaterih splošnih pojmov iz teorije Steinovih mnogoterosti ter podroben prikaz teorije Andersén-Lempert, ki obravnava holomorfne avtomorfizme kompleksnih evklidskih prostorov ter sorodnih kompleksnih mnogoterosti z veliko grupo holomorfnih avtomorfizmov. Tretje poglavje vsebuje avtorjeve originalne rezultate o interpolaciji neizrojenih brstičev holomorfnih preslikav z družinami holomorfnih avtomorfizmov, ki so holomorfno odvisni od parametra v neki Steinovi mnogoterosti. V četrtem poglavju obravnavamo tehnično zahtevne posplošitve omenjenih interpolacijskih rezultatov za avtomorfizme Steinovih mnogoterosti z Varolinovo lastnostjo gostote. Peto poglavje je posvečeno vpeljavi in obravnavi novega pojma (strogo) pohlevnih diskretnih množic v Steinovih mnogoterostih z lastnostjo gostote. Uvodoma pokažemo, da se na kompleksnih evklidskih prostorih novo vpeljani pojem ujema s klasičnim pojmom pohlevnih diskretnih množic, ki sta jih obravnala Rosay in Rudin leta 1988. V disertaciji se osredotočimo predvsem na pohlevne množice v linearnih algebraičnih kompleksnih Liejevih grupah ter na delovanja kompletnih holomorfnih vektorskih polj na njih. Posebnega pomena je študij kolobarjev invariantnih funkcij takih vektorskih polj. V zadnjem šestem poglavju predstavimo in diskutiramo vrsto odprtih problemov, ki so se porodili tekom naših raziskav, ter nakažemo nekaj možnih smeri razvoja nadaljnjih raziskav na tem področju.

• Keywords: holomorfni avtomorfizem, brstič, interpolacija, pohlevna množica