20.500.12556/RUL-187296 Razporeditve hiperravnin magistrsko delo Hyperplane arrangements Končna razporeditev hiperravnin A je končna množica afinih hiperravnin v vektorskem prostoru. Hiperravnine iz razporeditve prostor razdelijo na t.i. območja, ki so povezane komponente njihovega komplementa, pri čemer so nekatera območja omejena, druga pa se raztezajo v neskončnost. Preseki hiperravnin tvorijo delno urejeno množico $L({\mathcal A})$, iz katere s pomočjo Möbiusove funkcije definiramo karakteristični polinom $\chi_{\mathcal A}(t)$, ki vsebuje pomembne informacije o geometrijskih in kombinatoričnih lastnostih razporeditve. Pomemben izrek Thomasa Zaslavskega iz leta 1975 z vrednostima karakterističnega polinoma v točkah $−1$ in $1$ določi število vseh oziroma omejenih območij razporeditve. Poseben primer razporeditev predstavljajo grafične razporeditve, pri katerih je karakteristični polinom enak kromatičnemu polinomu pripadajočega grafa. Ta povezava med drugim omogoča določanje števila acikličnih orientacij grafa s pomočjo teorije hiperravnin. Karakteristični polinom poljubne razporeditve lahko določimo neposredno iz delno urejene množice presekov in pripadajoče Möbiusove funkcije, v posebnih primerih pa lahko uporabimo tudi druge metode. Metoda končnih polj omogoča izračun karakterističnega polinoma s štetjem točk v končnih vektorskih prostorih, pri eksponentnih zaporedjih razporeditev pa lahko karakteristični polinom določimo iz števila njihovih območij s pomočjo rodovne funkcije. Nekatere posebne razporeditve so tesno povezane z drugimi pomembnimi kombinatoričnimi objekti. Izkaže se, da je število območij kitkaste razporeditve enako številu permutacij, število območij Shijeve razporeditve je enako številu parkirnih funkcij, število območij Catalanove razporeditve pa je izraženo s Catalanovimi števili. A finite hyperplane arrangement A is a finite set of affine hyperplanes in a vector space. The hyperplanes in the arrangement divide the space into regions, which are the connected components of their complement. Some regions are bounded, while others extend to infinity. The intersections of the hyperplanes form a partially ordered set $L({\mathcal A})$, which, together with the Möbius function, is used to define the characteristic polynomial $\chi_{\mathcal A}(t)$. This polynomial contains important information about the geometric and combinatorial properties of the arrangement. An important theorem of Thomas Zaslavsky from 1975 uses the values of the characteristic polynomial at $−1$ and $1$ to determine the number of regions and bounded regions, respectively. A special class of arrangements is given by graphic arrangements, for which the characteristic polynomial is equal to the chromatic polynomial of the corresponding graph. This connection also makes it possible to determine the number of acyclic orientations of a graph using the theory of hyperplane arrangements. The characteristic polynomial of an arbitrary arrangement can be determined directly from the partially ordered set of intersections and its Möbius function, while other methods can be used in special cases. The finite field method determines the characteristic polynomial by counting points in finite vector spaces. For exponential sequences of arrangements, the characteristic polynomial can also be determined from the number of their regions using a generating function. Some special arrangements are closely connected to other important combinatorial objects. The number of regions of the braid arrangement is equal to the number of permutations, the number of regions of the Shi arrangement is equal to the number of parking functions, and the number of regions of the Catalan arrangement is expressed in terms of Catalan numbers. razporeditve hiperravnin karakteristični polinom delno urejena množica presekov Möbiusova funkcija grafične razporeditve metoda končnih polj hyperplane arrangements characteristic polynomial intersection poset Möbius function graphic arrangements finite field method true false false Slovenski jezik Angleški jezik Magistrsko delo/naloga 2026-09-10 08:15:22 2026-09-10 08:15:28 2026-09-14 09:36:09 0000-00-00 00:00:00 2026 0 0 0000-00-00 NiDoloceno NiDoloceno NiDoloceno 0000-00-00 0000-00-00 0000-00-00 163136 290669571 23867.pdf 23867.pdf 1 94A5E7068D9A76CDB1F8A2D37A38370A bd667fb16f36a886bc9e15b7e23e8b4b8bbf9b45c4be60513d294bc7a891f685 fe83214b-acde-11f1-8bc5-0050569b8976 https://repozitorij.uni-lj.si/Dokument.php?lang=slv&id=246856 Fakulteta za matematiko in fiziko 0 0 0