20.500.12556/RUL-174114 Kritični simpleksi v vztrajni homologiji doktorska disertacija Critical simplices in persistent homology V doktorskem delu obravnavamo vztrajno homologijo, dobljeno z uporabo homologije na odprti Ripsovi filtraciji kompaktnega metričnega prostora $(X,d)$. Pokažemo, da je vsako zmanjšanje $0$-dimenzionalne vztrajne homologije ter vsako povečanje $1$-dimenzionalne vztrajne homologije posledica lokalnih minimumov razdaljne funkcije $d$. Kadar $d$ doseže lokalni minimum le za končno mnogo parov točk, dokažemo, da vsako tako spremembo v vztrajni homologiji povzroči določena kritična povezava v Ripsovih kompleksih, ki predstavlja lokalni minimum funkcije $d$. Rezultati vključujejo zgornje meje za rang $1$-dimenzionalne vztrajne homologije in pripadajoči rekonstrukcijski izrek. Z računalniškega vidika je zanimivo, da obstaja preprost geometrijski kriterij za prepoznavanje tistih lokalnih minimumov funkcije $d$, ki povzročijo spremembe v vztrajni homologiji. Ti rezultati predstavljajo prvo interpretacijo kritičnih vrednosti vztrajne homologije (pridobljene z Ripsovimi kompleksi) za splošne kompaktne metrične prostore. In this dissertation, we study the persistent homology obtained by the homology on the open Rips filtration of a compact metric space $(X,d)$. We show that every decrease in $0$-dimensional persistent homology and every increase in $1$-dimensional persistent homology is a consequence of local minima of the distance function $d$. When $d$ attains a local minimum for only finitely many pairs of points, we prove that each such change in the persistent homology is caused by a specific critical edge in the Rips complexes corresponding to a local minimum of the function $d$. The results include upper bounds for the rank of the $1$-dimensional persistent homology and a corresponding reconstruction theorem. From a computational point of view, it is noteworthy that there is a simple geometric criterion to identify those local minima of the distance function d that cause changes in the persistent homology. These results provide the first interpretation of the critical values of the persistent homology (obtained by Rips complexes) for general compact metric spaces. metrični prostor vztrajna homologija simplicialni kompleks Ripsov kompleks lokalni minimum kritična vrednost metric space persistent homology simplicial complex Rips complex local minimum critical value true false false Slovenski jezik Angleški jezik Doktorsko delo/naloga 2025-09-27 08:15:11 2025-09-27 08:15:13 2025-11-18 03:50:04 0000-00-00 00:00:00 2025 0 0 0000-00-00 NiDoloceno NiDoloceno NiDoloceno 0000-00-00 0000-00-00 0000-00-00 515.1 154853 251086595 19003.pdf 19003.pdf 1 F29F35236B85264CFBFDE77461BF9B4B eb0e1caedec65ecde772f694d789166745cd883c487e9e60a406a463614e1e99 22ab19da-9b69-11f0-9328-0050569b8976 https://repozitorij.uni-lj.si/Dokument.php?lang=slv&id=218872 Fakulteta za matematiko in fiziko 0 0 0