20.500.12556/RUL-164473 Posplošeni Gauss-Bonnetov izrek magistrsko delo The generalized Gauss-Bonnet theorem V delu dokažemo posplošitev klasičnega Gauss-Bonnetovega izreka, ki vzpostavlja presenetljivo zvezo med ukrivljenostjo in topologijo orientabilne sklenjene gladke ploskve. Izkaže se, da prava posplošitev tega izreka obstaja le v sodih dimenzijah, vendar pa metode, ki delujejo v dimenziji $2$, še zdaleč niso zadosti za dokaz te splošnejše izjave. V ta namen je velika večina dela namenjena pripravi na dokaz tega izreka, spotoma pa spoznamo veliko zanimive teorije, ki je uporabna tudi v širšem kontekstu. Na poti do tja namreč obdelamo osnove Riemannove geometrije, spoznamo pojem povezave v modernejšem okolju glavnih svežnjev in se dotaknemo teorije karakterističnih razredov, ko v gladkem kontekstu definiramo Eulerjev razred vektorskega svežnja. V zvezi s slednjim obravnavamo še en klasični izrek: Poincaré-Hopfov izrek o indeksu, ki v dokazu glavnega izreka igra ključno vlogo. In this thesis, we prove a generalization of the classic Gauss-Bonnet theorem, which establishes a surprising link between the curvature and the topology of an orientable closed smooth surface. It turns out that a true generalization of this theorem is only possible in even dimensions, however the methods that work in dimension $2$ are far from being enough to prove this more general statement. To this end, a vast majority of this work is dedicated to preparation for the proof of the main theorem, and during this, a lot of interesting theory that is useful in a broader context is developed. For example, we develop the basics of Riemannian geometry, learn about connections in the more modern environment of principal bundles, and touch upon the theory of characteristic classes when we define the Euler class in the context of smooth vector bundles. Here we also discuss another classic theorem: the Poincaré-Hopf index theorem, which is, in fact, of crucial importance in the proof of the main theorem. Riemannova mnogoterost Riemannova metrika povezava ukrivljenost glavni svežnji Thomov razred Eulerjev razred Pfaffian. Riemannian manifold Riemannian metric connection curvature principal bundles Thom class Euler class Pfaffian. true false false Slovenski jezik Angleški jezik Magistrsko delo/naloga 2024-10-26 08:15:04 2024-10-26 08:15:10 2024-11-22 14:54:29 0000-00-00 00:00:00 2024 0 0 0000-00-00 NiDoloceno NiDoloceno NiDoloceno 0000-00-00 0000-00-00 0000-00-00 514.7 145465 213001731 15535.pdf 15535.pdf 1 D9017F76F140EE7911BA322286404ABD f6cdd0ab23d3b479717ad1accd13b2fa58f598c02ed4c02de121d3235613a1fb 5930c9d4-9361-11ef-b232-0050569b8976 https://repozitorij.uni-lj.si/Dokument.php?lang=slv&id=194945 Fakulteta za matematiko in fiziko 0 0 0