20.500.12556/RUL-139404 Eliptične krivulje in kompleksni torusi delo diplomskega seminarja Elliptic curves and complex tori Eliptična krivulja nad poljem kompleksnih števil $\mathbb{C}$ je nesingularna projektivna kubika, podana z Weierstrassovo enačbo. S pomočjo izreka o implicitni funkciji pokažemo, da ta dopušča kompleksno strukturo, kar pomeni, da postane Riemannova ploskev. Po drugi strani vsak torus, predstavljen kot kvocient $\mathbb{C}$ po mreži $\Lambda$ - diskretni podgrupi $\mathbb{C}$ izomorfni $\mathbb{Z}^2$, podeduje kompleksno strukturo preko kvocientne preslikave in tako pojasni imenovanje kompleksni torus. Izkaže se, da ti dve, bistveno različni konstrukciji, presenetljivo porodita enaka oz. izomorfna matematična objekta. To vez razložimo preko teorije dvojno periodičnih funkcij, imenovanih eliptične funkcije, in modularnih funkcij z mnogo simetrije, povezane z modularno grupo $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$. Obravnavamo njihove osnovne lastnosti in razvijemo teorijo Weierstrassove funkcije $\wp$, ki nam nazadnje omogoči eksplicitno podati omenjeni izomorfizem in dokazati uniformizacijski izrek, ki združuje oba objekta. An elliptic curve over the field of complex numbers $\mathbb{C}$ is a nonsingular projective cubic, given by the Weierstrass equation. Using the implicit function theorem we show, that it admits a complex structure, which makes it a Riemann surface. On the other hand every torus, which we view as a quotient of $\mathbb{C}$ modulo a lattice $\Lambda$ - a discrete subgroup of $\mathbb{C}$ isomorphic to $\mathbb{Z}^2$, inherits a complex structure via its quotient map, which justifies us naming it complex torus. These two, vastly different constructions, remarkably turn out to yield the same i.e. isomorphic mathematical objects. This link is explained using the theory of doubly periodic functions, also called elliptic functions, and modular functions, which are meromorphic functions on the upper half plane enjoying many symmetries involving the modular group $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$. We discuss their basic properties and develop the necessary theory of the Weierstrass $\wp$-function, alowing us to explicitly construct the aforementioned isomorphism and prove the uniformization theorem, unifying both objects of study. eliptične krivulje eliptične funkcije kompleksni torusi Weierstrassova funkcija $\wp$ j-invarianta modularne funkcije elliptic curves elliptic functions complex torus Weierstrass $\wp$-function j-invariant modular functions true false false Slovenski jezik Angleški jezik Delo diplomskega seminarja/zaključno seminarsko delo/naloga 2022-09-02 08:15:16 2022-09-02 08:15:18 2024-05-29 12:17:35 0000-00-00 00:00:00 2022 0 0 0000-00-00 NiDoloceno NiDoloceno NiDoloceno 0000-00-00 0000-00-00 0000-00-00 511 125422 120708611 4987.pdf 4987.pdf 1 711D90B83865923D4DA89DF975DD8ED4 76600c8fa487366b4cf51772e469f8385ec08ed1abd168a8baf15965a9ec20d7 9385d20b-2a86-11ed-92af-00155dcfd717 https://repozitorij.uni-lj.si/Dokument.php?lang=slv&id=159965 Fakulteta za matematiko in fiziko 0 0 0