20.500.12556/RUL-139402 Brownovo gibanje in toplotna enačba magistrsko delo Brownian motion and the heat equation Toplotna enačba je ena najpomembnejših parcialnih diferencialnih enačb v matematiki in naravoslovju. Njene rešitve se navadno ne da izraziti v zaprti eksplicitni obliki, jo pa lahko zapišemo v integralski obliki z uporabo t. i. fundamentalne rešitve ali pa kot neskončno vrsto rešitev lastnega problema, če jo rešujemo na omejeni množici. V tej magistrski nalogi bomo raziskali še tretji način, kjer rešitev toplotne enačbe zapišemo kot pričakovano vrednost primernega funkcionala Brownovega gibanja. Računsko gledano se izkaže za sorodnega zapisu rešitve v integralski obliki, a je konceptualno povsem drugačen, omogoča pa reševanje tudi bolj splošnih oblik toplotne enačbe, med drugim posebne oblike konvekcijske toplotne enačbe. Zapis rešitve z Brownovim gibanjem porodi tudi nove numerične pristope k reševanju toplotne enačbe. The heat equation is one of the most important partial differential equations in mathematics and natural sciences. Its solution can rarely be expressed in closed, explicit form. It can however be expressed in integral form with the so-called fundamental solution or as a series of solutions to the eigenvalue problem, if the domain is bounded. In this master's thesis a third method is explored, where the solution to the heat equation is expressed as conditional expectation of appropriate functionals of Brownian motion. In computational sense it is similar to the expression in terms of the fundamental solution, but conceptually unrelated. In addition, the Brownian approach gives rise to new numerical algorithms for solving the heat equation. Brownovo gibanje martingal lokalni martingal Itôv integral toplotna enačba Feynman-Kacova formula enostavna lastnost Markova Lebesgueov integral s parametrom neodvisnost Brownian motion martingale local martingale Itô integral heat equation Feynman-Kac formula Markov property parameter-dependent Lebesgue integral independence true false false Slovenski jezik Angleški jezik Magistrsko delo/naloga 2022-09-02 08:15:11 2022-09-02 08:15:14 2024-05-29 12:17:14 0000-00-00 00:00:00 2022 0 0 0000-00-00 NiDoloceno NiDoloceno NiDoloceno 0000-00-00 0000-00-00 0000-00-00 519.2 125420 120801539 5094.pdf 5094.pdf 1 AF0B088B0FC632FBF8EA82565AAC8835 ed9d7973e0267e3f89fb6586383095d1c75210f1c737300ee19563c690aaaf84 90c2b769-2a86-11ed-92af-00155dcfd717 https://repozitorij.uni-lj.si/Dokument.php?lang=slv&id=159963 Fakulteta za matematiko in fiziko 0 0 0