20.500.12556/RUL-129883 Trikotniki, vložljivi v celoštevilsko mrežo delo diplomskega seminarja Triangles embeddable in integer lattice V diplomski nalogi si bomo ogledali karakterizacijo vložljivosti trikotnikov v celoštevilske mreže ${\mathbb Z}^n$ za $n \geq 2$. Pri tem bomo rekli, da je trikotnik vložljiv v ${\mathbb Z}^n$, če je podoben kakšnemu trikotniku v ${\mathbb R}^n$, ki ima oglišča s celoštevilskimi koordinatami. Videli bomo, da je trikotnik vložljiv v ${\mathbb Z}^2$ natanko tedaj, ko so tangensi vseh treh kotov trikotnika racionalna števila ali $\infty$. Enakostranični trikotnik je primer trikotnika, vložljivega v ${\mathbb Z}^3$, ne pa tudi v ${\mathbb Z}^2$. Dokazali bomo, da je trikotnik vložljiv v ${\mathbb Z}^3$ natanko tedaj, ko je vložljiv v ${\mathbb Z}^4$. Kriterij za vložljivost trikotnika v ${\mathbb Z}^4$ (in s tem v ${\mathbb Z}^3$) je, da so tangensi vseh njegovih kotov oblike $\tan{\alpha_i} = q_i \sqrt{k}$, kjer je $k \in {\mathbb Z}$ vsota treh kvadratov celih števil in $q_i \in {\mathbb Q} \cup \{\infty\}$. Izpeljali ga bomo na dva načina, pri čemer si bomo pomagali s podobnostnimi preslikavami, kvaternioni in trikotniškimi enačbami. Obstajajo trikotniki, vložljivi v ${\mathbb Z}^5$, ne pa tudi v ${\mathbb Z}^4$. Za višje dimenzije pa velja, da je trikotnik vložljiv v ${\mathbb Z}^n$ za $n \geq 5$ natanko tedaj, ko je vložljiv v ${\mathbb Z}^5$. We give a characterization of the triangles embeddable in ${\mathbb Z}^n$ for $n \geq 2$. A triangle is embeddable in ${\mathbb Z}^n$ if it is similar to a triangle in ${\mathbb R}^n$ whose vertices have integer coordinates. A triangle is embeddable in ${\mathbb Z}^2$ if and only if tangents of all its angles are rational or $\infty$. Equilateral triangle is embeddable in ${\mathbb Z}^3$ but not in ${\mathbb Z}^2$. We show that a triangle is embeddable in ${\mathbb Z}^4$ if and only if it si embeddable in ${\mathbb Z}^3$. A triangle is embeddable in ${\mathbb Z}^4$ (and ${\mathbb Z}^3$) if and only if tangents of all its angles are rational multiples of $\sqrt{k}$, where $k$ is a sum of three squares, or $\infty$. We show this by using similarities of ${\mathbb R}^n$, quaternions and triangle equations. There are triangles embeddable in ${\mathbb Z}^5$ but not in ${\mathbb Z}^4$. A triangle is embeddable in ${\mathbb Z}^n$ for $n \geq 5$ if and only if it is embeddable in ${\mathbb Z}^5$. vložljivost celoštevilska mreža trikotnik trikotniška enačba kvaternioni podobnostna preslikava $n$-simpleks embeddability integer lattice triangle triangle equations quaternions similarity $n$-simplex true false false Slovenski jezik Angleški jezik Delo diplomskega seminarja/zaključno seminarsko delo/naloga 2021-09-09 08:15:12 2021-09-09 08:15:13 2024-05-29 13:54:54 0000-00-00 00:00:00 2021 0 0 0000-00-00 NiDoloceno NiDoloceno NiDoloceno 0000-00-00 0000-00-00 0000-00-00 514 119583 75800067 3302.pdf 3302.pdf 1 FB374FCDCC19FE6125C33AC57F034AA4 caddd752c6dda182a28e3fe65576374577e9566b33e144ebbe63ecb0283f7d43 0bc19518-1135-11ec-a523-00155dcfd717 https://repozitorij.uni-lj.si/Dokument.php?lang=slv&id=146916 Fakulteta za matematiko in fiziko 0 0 0