20.500.12556/RUL-115224 Approximations of 1-dimensional intrinsic persistence of geodesic spaces and their stability Aproksimacije 1-dimenzionalne intrinzične vztrajnosti geodetskih prostorov in njihova stabilnost A standard way of approximating or discretizing a metric space is by taking its Rips complexes. These approximations for all parameters are often bound together into a filtration, to which we apply the fundamental group or the first homology. We call the resulting object persistence. Recent results demonstrate that persistence of a compact geodesic locally contractible space $X$ carries a lot of geometric information. However, by definition the corresponding Rips complexes have uncountably many vertices. In this paper we show that nonetheless, the whole persistence of $X$ may be obtained by an appropriate finite sample (subset of $X$), and that persistence of any subset of $X$ is well interleaved with the persistence of $X$. It follows that the persistence of $X$ is the minimum of persistences obtained by all finite samples. Furthermore, we prove a much improved Stability theorem for such approximations. As a special case we provide for each $r>0$ a density $s>0$, so that for each $s$-dense sample $S \subset X$ the corresponding fundamental group (and the first homology) of the Rips complex of $S$ is isomorphic to the one of $X$, leading to an improved reconstruction result. Standarden način aproksimacije ali diskretizacije metričnega prostora vključuje konstrukcijo Ripsovih kompleksov. Kolekcijo takih aproksimacij za vse parametre povežemo v filtracijo, na kateri uporabimo funktorja fundamentalne grupe ali prve homologije. Dobljenemu objektu bomo rekli vztrajnost. Pred kratkim dobljeni rezultati nakazujejo, da vztrajnost kompaktnega geodezičnega lokalno kontraktibilnega prostora $X$ vsebuje geometrijsko informacijo o prostoru. Taka vztrajnost po definiciji uporablja Ripsove komplekse na neštevno mnogo točkah. V tem članku pokažemo, da lahko kljub temu celotno vztrajnost $X$ dobimo iz ustreznega končnega vzorca. Poleg tega pokažemo, da je vztrajnost poljubnega končnega vzorca dobro prepletena z vztrajnostjo celotnega prostora. Iz teh ugotovitev sledi, da je vztrajnost prostora minimum vztrajnosti, dobljenih z uporabo končnih podprostorov. Poleg tega dokažemo precej izboljšan izrek o stabilnosti za aproksimacije s končnimi podmnožicami. Kot poseben primer lahko podamo za poljuben $r > 0$ gostoto $s > 0$, tako da je za vsako $s$-gosto podmnožico $S$ v $X$, pripadajoča fundamentalna grupa Ripsovega kompleksa $S$ pri $r$ izomofrna fundamentalni grupi Ripsovega kompleksa $X$ pri $r$, iz česar sledi izboljšan rekonstrukcijski rezultat. persistence geodesic space minimal homology basis geodesic circle Rips complex vztrajnost geodetski prostor geodetska krožnica Ripsov kompleks true false false Angleški jezik Slovenski jezik Neznano 2020-04-18 11:38:56 2020-04-18 11:38:59 2022-08-27 04:00:15 0000-00-00 00:00:00 2019 0 0 Str. 195-213 iss. 1 Vol. 32 Jan. 2019 0000-00-00 NiDoloceno NiDoloceno NiDoloceno 0000-00-00 0000-00-00 0000-00-00 515.14 1139-1138 10.1007/s13163-018-0275-4 18410073 16654937 RAZ_Virk_Ziga_2019.pdf RAZ_Virk_Ziga_2019.pdf 1 D2B93CE03F64A0B5D350ED860640E4E3 fe24f3bef40c258047d7fa7f6f58c8e5575b4e6195acc1454d286586c6561a70 6eedeb01-a1b8-11eb-a523-00155dcfd717 https://repozitorij.uni-lj.si/Dokument.php?lang=slv&id=127925 Fakulteta za matematiko in fiziko 0 0 0