20.500.12556/RUL-110107 Riemannova funkcija ζ in razporeditev praštevil delo diplomskega seminarja The Riemann ζ Function and the Distribution of Prime Numbers Riemannovo funkcijo zeta definiramo kot funkcijo kompleksne spremenljivke $s$, in sicer z vrsto $\zeta(s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$ za $\operatorname{Re}s > 1 $, nato pa jo analitično razširimo na ${\mathbb C} \setminus \{1\}$. Pri tem si pomagamo s funkcijsko enačbo, v kateri je pomembna vloga funkcije gama. Tako razširjena funkcija zeta ima v točki 1 pol stopnje 1, v točkah $-2, -4, -6, \; \dots$ pa tako imenovane trivialne ničle. V nadaljavanju Riemannovo funkcijo zeta izrazimo kot neskončen produkt, imenovan Eulerjev produkt, in pokažemo, da $\zeta$ nima ničel na polravnini $\operatorname{Re}s \geq 1$. To dejstvo uporabimo v dokazu praštevilskega izreka, ki govori o asimptotični ekvivalenci funkcij $\pi (x)$ in $x / \ln(x)$, kjer s $\pi (x) $ označimo število praštevil, ki so manjša ali enaka danemu pozitivnemu realnemu številu $x$. We define the Riemann zeta function as a function of a complex variable $s$ with the series $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$ for $\operatorname{Re}s > 1 $ and then extend it analytically to ${\mathbb C} \setminus \{1\}$. We use a functional equation in which the gamma function plays an important role. The extended zeta function has a simple pole in 1 and so-called trivial zeros in $-2, -4, -6, \; \dots$. Later on, we express the Riemann zeta function as an infinite product called the Euler product and show that $\zeta$ has no zeros on the half-plane $\operatorname{Re} s \geq 1$. We use this fact in the proof of the prime number theorem which describes the asymptotic equivalence of the functions $\pi (x)$ and $x / \ln (x) $, where $\pi (x)$ denotes the number of primes less than or equal to a given positive real number $x$. Riemannova funkcija zeta Poissonova sumacijska formula izrek o praštevilih neskončne vrste neskončni produkti Eulerjev produkt Riemann zeta function Poisson summation formula prime number theorem infinite series infinite product Euler product true false false Slovenski jezik Angleški jezik Delo diplomskega seminarja/zaključno seminarsko delo/naloga 2019-09-12 07:46:21 2019-09-12 07:46:26 2024-05-30 10:27:13 0000-00-00 00:00:00 2019 0 0 0000-00-00 NiDoloceno NiDoloceno NiDoloceno 0000-00-00 0000-00-00 0000-00-00 511 98863 18739801 912.pdf 912.pdf 1 3E4F15E91B877624C9D2C1815915B046 ba4b0e571851e82fd93a6757da11646188098f25598199f46462200b28fc59fd 09b31052-a1b7-11eb-a523-00155dcfd717 https://repozitorij.uni-lj.si/Dokument.php?lang=slv&id=121738 Fakulteta za matematiko in fiziko 0 0 0