Ocenjevanje v času urejenih razlik med protidejstvenimi alternativamiRupnik Medjedovič, Tom (Avtor) Pohar Perme, Maja (Mentor) Šega, Gregor (Komentor) metoda največjega verjetjaprotidejstvena alternativaAnalizirati želimo v času urejene podatke, pri čemer nas zanima razlika med vrednostmi dveh opazovanj. Slučajno spremenljivko preučevanih enot opazujemo v dveh različnih časovnih točkah, pri čemer predpostavimo, da so vrednosti v prvi točki manjše od vrednosti v drugi točki. Posamezna enota je lahko opazovana v obeh ali le v eni izmed točk, v primeru, da enote ni mogoče opazovati v obeh točkah. Za enoto, ki ne more biti opazovana tako v prvi ali drugi točki, je nasprotno stanje (alternativno stanje) zanjo nemogoče, torej protidejstveno. Ker analiziramo v času urejene podatke, je čas dogodka v prvi točki vedno manjši (se zgodi prej) od časa dogodka v drugi točki. Enako velja tudi v primeru, da vrednost slučajne spremenljivke ne predstavlja časa dogodka, saj smo predpostavili, da so vrednosti v prvi točki manjše od vrednosti v drugi točki. Tako je pri enotah, ki so opazovane v obeh točkah, razlika vrednosti v drugi točki in vrednosti v prvi točki vedno pozitivna. V idealnih razmerah bi imeli za vse opazovane enote zvezno izmerjene vrednosti vseh spremenljivk, ki jih želimo analizirati, in bi natanko vedeli, kateri opazovani enoti pripadajo. Vendar pa v vsakdanjem življenju dostikrat naletimo na delno pomanjkljive podatke, ali pa imajo ti izpuščen del informacij. S tem se natančnost rezultatov analiz manjša oziroma so ti posledično bolj variabilni. Za različne načrte raziskav smo zapisali funkcije verjetji in cenilke za parametre porazdelitve razlik med opazovanjem v drugi in prvi točki. Analizirali smo, kako se s postopno izgubo informacij spreminjajo lastnosti cenilk. Z uporabo metode največjega verjetja smo ocenili vrednosti parametrov porazdelitve, po kateri se porazdeljujejo razlike med vrednostmi dveh opazovanj. Za numerični izračun ocen parametrov in njihovih variabilnosti smo uporabili algoritem BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno). Vpliv izgube informacije na variabilnost smo preučili s simulacijami, pri čemer smo postopno izgubo informacij simulirali z zveznimi oziroma diskretnimi meritvami, prisotnostjo informacije, katere meritve pripadajo posamezni statistični enoti (vemo kateri dve meritvi predstavljata par) in meritvami opravljenih na istih oziroma različnih statističnih enotah. Zanimal nas je predvsem primer, ko so meritve opravljene na različnih statističnih enotah (ta primer predstavlja protidejstveno alternativo). S simulacijami smo pokazali, da je v primeru diskretnih meritev in meritev, pri katerih ne poznamo parov, odstopanje ocene iskanih parametrov od prave vrednosti večje, kot v primeru nepomanjkljivih podatkov, in se variabilnost ocene povečuje. Pri čemer so diskretne meritve imele manjši vpliv na spremembo vrednosti kot meritve, pri katerih ne poznamo parov. Analizo smo ponovili za primere, ko se razlika med vrednostmi dveh opazovanj porazdeljuje po eksponentni porazdelitvi, gama porazdelitvi in eksponentni porazdelitvi, ki je odvisna od predhodne vrednosti. S simulacijami smo pokazali, da imamo v primeru eksponentne porazdelitve nepristranske ocene vrednosti parametrov ne glede na izgubo informacij. V preostalih dveh primerih pa so razlike med različnimi načrti raziskav večje, tako da ne moremo za vse trditi, da je ocena vrednosti parametra porazdelitve nepristranska. Za vsako izmed porazdelitev nas je tudi zanimalo, kako se variabilnosti ocen iskanih parametrov razlikujejo ob spreminjanju preostalih vrednosti, ki še lahko vplivajo na variabilnost razlike med vrednostmi dveh opazovanj. Pri tem smo ugotovili, da povečanje variabilnosti vrednosti enega oziroma drugega opazovanja ne pomeni nujno bolj variabilne ocene, ampak jo lahko celo zmanjša. V primeru protidejstvenih alternativ smo pri izračunu ocen vrednosti parametrov v funkciji verjetja uporabili pogojno verjetnost, pri čemer smo vrednost posamezne meritve prvega opazovanja primerjali z vsemi meritvami drugega opazovanja. Asimptotsko variabilnost posameznega parametra porazdelitve razlik med opazovanji smo izračunali z uporabo Fisherjeve informacije. Prišli smo do zaključka, da na variabilnost ocen parametrov vplivata tako variabilnost meritev prvega opazovanja kot tudi variabilnost razlik med prvim in drugim opazovanjem. V magistrskem delu smo za obravnavane načrte raziskav, ki jih uporabimo ob različnih izgubah informacij, na novo predlagali cenilke za ocene parametrov porazdelitve razlik med opazovanjem v drugi in prvi točki. Primerjavo načrtov raziskav in spreminjanja variabilnosti ocene smo naredili za različne porazdelitve razlik. Za primer protidejstevih alternativ smo pokazali, da dobimo precej podobne ocene, kot v primeru parnih meritev, vendar ne vemo, katere meritve pripadajo posamezni statistični enoti. Lastnosti cenilk smo sicer preverili za primer porazdelitve razlik po eksponentni, gama in eksponentni porazdelitvi, ki je odvisna od vrednosti v prvi točki, vendar so dobljeni rezultati posplošljivi na katerokoli eno-parametrično porazdelitev, dvo-parametrično porazdelitev in porazdelitev, ki je odvisna od vrednosti v prvi točki. Glede na podobnost rezultatov analize variabilnosti ocen parametrov smo porazdelitve razlik razdelili v dve skupini. Prvo skupino predstavljata eno-parametrična in dvo-parametrična porazdelitev, drugo pa porazdelitev, ki je odvisna od vrednosti v prvi točki. Z večanjem variabilnosti meritev prvega opazovanja se variabilnost ocen parametrov veča, z večanjem variabilnosti razlik pa se variabilnost ocen parametrov manjša. Nasprotno velja, ko je razlika med opazovanji odvisna od vrednosti v prvi točki. Takrat se z večanjem variabilnosti meritev prvega opazovanja variabilnost ocen parametrov manjša, z večanjem variabilnosti razlik pa se variabilnost ocen parametrov sprva nekoliko manjša, nato pa se trend obrne in se začne večati. Za primere vseh porazdelitev razlik smo zaključili, da je za manj variabilne ocene parametrov treba imeti nekoliko več meritev drugega opazovanja.20252025-09-05 12:50:01Magistrsko delo/naloga172091VisID: 63101COBISS_ID: 256829443sl