Catalanova domnevaKralj, Samo (Avtor) Šivic, Klemen (Mentor) Catalanova domnevaCasselsov izrek o deljivostiMihailescujev izrek o deljivostidvojni Wieferichov paralgebraično številsko poljeciklotomično poljegrupni kolobarulomljeni idealStickelbergerjev idealCatalanova domneva pravi, da je $3^2-2^3=1$ edina rešitev enačbe $x^m-y^n=1$ za naravna števila $x$, $y$, $m$, $n$, kjer velja $m,n > 1$. Domnevo je leta 2002 dokončno dokazal Preda Mihailescu. V magistrskem delu predstavimo zgodovino reševanja Catalanove domneve in obravnavamo posamezne ključne rezultate. Tako dokažemo Catalanovo domnevo v primerih, ko je eden od eksponentov sodo število. Nadaljne reševanje Catalanove domneve sloni na rezultatih iz algebraične teorije števil in posebej teorije ciklotomičnih polj. Med drugim dokažemo Casselsov izrek o deljivosti, ki pravi, da če sta neničelni celi števili $x$, $y$ rešitvi enačbe $x^p-y^q=1$, kjer sta $p$ in $q$ lihi praštevili, potem $p$ deli $y$ in $q$ deli $x$. Dokažemo tudi Mihailescujev izrek o deljivosti, ki za isto enačbo pravi, da $q^2$ deli $x$ in $p^2$ deli $y$. Mihailescujev končni dokaz Catalanove domneve je sestavljen iz dveh delov. V magistrski nalogi v celoti predstavimo del, ko $p$ deli $q-1$ in del dokaza drugega dela, ko $p$ ne deli $q-1$, v katerem je uporabljena Rungeva metoda.20242024-09-01 08:15:03Magistrsko delo/naloga160626UDK: 511VisID: 142311COBISS_ID: 206168579sl