Harmonična številaVidmar, Katarina (Avtor) Kuzman, Boštjan (Mentor) harmonična vrstaV magistrskem delu obravnavamo harmončna števila. Le-ta se izkažejo za zelo uporabna na področju teorije števil, analize ter verjetnosti, srečamo pa jih tudi pri analizi računalniških algoritmov in v različnih matematičnih ugankah. Pred samo obravnavo harmoničnih števil predstavimo zaokrožen izbor osnovnih izrekov in definicij o zaporedjih in vrstah, ki nam bodo v pomoč pri razumevanju jedra magistrskega dela. V tem delu definiramo harmonično vrsto in dokažemo njeno divergenco. V nadaljevanju se osredotočimo na harmonična števila in pokažemo nekaj njihovih lastnosti. V tem sklopu dokažemo Bertrandov postulat in z njegovo pomočjo pokažemo, da nobeno harmonično število Hn, n ≥ 2 ni celo število. Pokažemo tudi, da imajo vsa harmonična števila, razen H1, H2 in H6, neskončno periodo. Harmonična števila nato povežemo z naravnim logaritmom. Ob tem vpeljemo Euler-Mascheronijevo konstanto γ in prikažemo dva principa, s katerima je Euler računal njene decimalne približke. V nadaljevanju opredelimo tri različne reprezentacije harmoničnih števil, in sicer integralsko reprezentacijo, reprezentacijo z binomskimi simboli in kombinatoriˇcno interpretacijo. Izpeljemo tudi rodovno funkcijo harmoničnih števil in vpeljemo zeta funkcijo ter posplošena harmonična tevila H(nm). Dokažemo, da zeta funkcija za m > 1 konvergira in da je ζ(2) = π2 V četrtem poglavju dela z uporabo kombinatoričnih dokazov dokažemo kombinatorično interpretacijo harmoničnih števil in zaokrožen izbor kombinatoričnih identitet, ki vsebujejo harmonična števila. Kombinatorične identitete dokazujemo predvsem z metodo dvojnega štetja. V zadnjem poglavju predstavimo še nekaj zgledov uporabe harmoničnih števil, kot so problem zbiralca sličic, problem terenskega vozila, problem stotih zapornikov in problem zlaganja blokov. Dane probleme tudi simuliramo s pomočjo programskega jezika Python.20212021-07-02 08:15:31Magistrsko delo/naloga128091COBISS_ID: 67591939sl