Atiyah-Singerjev izrek o indeksuMatevc, Andrej (Avtor) Strle, Sašo (Mentor) Kališnik, Jure (Komentor) K-teorijapsevdo-diferencialni operatorjiteorija indeksaV delu obravnavamo Atiyah-Singerjev izrek o indeksu in potrebno matematično ozadje. Najprej se posvetimo $K$-teoriji, kjer uvedemo reducirane, relativne in negativne $K$-grupe, $K$-teorijo s kompaktnimi nosilici, zunanje produkte, komplekse vektorskih sveženjev, Bottovo periodičnost in Thomov izomorfizem. S tem lahko konstruiramo topološki indeks $t$-ind, ki je ena izmed dveh ključnih sestavin Atiyah-Singerjevega izreka o indeksu. Analitični del naloge se začne s teorijo psevdo-diferencialnih operatorjev na evklidskem prostoru ${\mathbb R}^n$, ki jo nato razširimo na operatorje med prerezi vektorskih svežnjev nad mnogoterostjo. Po uvedbi prostorov Soboljeva in eliptičnosti operatorjev na mnogoterostih pokažemo, da so eliptični psevdo-diferencialni operatorji nad sklenjenimi mnogoterostmi Fredholmovi. S pomočjo glavnega simbola osvetlimo korespondenco med psevdo-diferencialnimi operatorji na $M$ in elementi $K_c(T^\vee M)$, s pomočjo katere definiramo še analitični indeks $a$-ind, drugo ključno sestavino Atiyah-Singerjevega izreka o indeksu. Ta izrek formuliramo kot $t$-ind $=a$-ind. Formalno strukturo dokaza pojasnimo, za podrobnosti pa navedemo ustrezno literaturo. Za konec s pomočjo Chernovega karakterja $K$-teoretično enakost $t$-ind $=a$-ind prevedemo v kohomološko formulo, s katero pokažemo, da sta znani enakosti $\chi(M)=\langle e(TM),[M]\rangle$ in ${\rm sign}(M)=\langle L(TM),[M]\rangle$ posledici Atiyah-Singerjevega izreka o indeksu.20262026-07-09 08:16:03Magistrsko delo/naloga184515sl