Predstavitve grafov z enotsko razdaljoHorvat, Boris (Avtor) Solina, Franc (Mentor) Pisanski, Tomaž (Komentor) teorija grafovgraf z enotsko razdaljopredstavitevrealizacijakoordinatizacijadegenerirana predstavitevgrafovski produktiHeawoodov grafPetersenov grafposplošeni Petersenovi grafi▫$I$▫-grafiNP poln problemdilacijski koeficientalgoritemizomorfizem grafovDisertacija opisuje probleme povezane z grafi, ki se jih da v evklidski ravnini predstaviti tako, da vozlišča predstavimo s točkami v ravnini povezave pa z daljicami dolžine ena. Probleme preučujemo tako z računalniškega (računskega) kot z matematičnega vidika. V uvodnem poglavju povzamemo do sedaj znane rezultate (predvsem matematične) teorije predstavitev grafov z enotsko razdaljo. Ob tem poenotimo terminologijo rezultatov, ki so nastajali v zadnjih petdesetih letih ter jo dopolnemo z dokazi nekaj manjših izrekov. Omenimo tudi prve poskuse generiranja majhnih grafov z enotsko razdaljo z računalnikom in predstavimo rezultate drugih avtorjev. V drugem poglavju obravnavamo najpomembnejše grafovske produkte ▫$k$▫-razsežnih grafov z enotsko razdaljo. V tretjem poglavju ovržemo napačno domnevo, da Heawoodov graf ni graf z enotsko razdaljo. V četrtem poglavju naštejemo vse, tudi degenerirane predstavitve z enotsko razdaljo Petersenovega grafa v ravnini ter obravnavamo relacije med njimi. V petem poglavju opazujemo posplošene Petersenove grafe in ▫$I$▫-grafe. Dokažemo izrek o izomorfizmih ▫$I$▫-grafov in s tem obstoj predstavitve z enotsko razdaljo za veliko večino ▫$I$▫-grafov. Postavimo nekaj domnev, ki jih potrdimo s pomočjo računalnika za vse ▫$I$▫-grafe na največ 2000 vozliščih. V šestem poglavju se ukvarjamo s teorijo izračunljivosti in opazujemo težavnost problema obstoja degenerirane predstavitve grafov z enotsko razdaljo. Dokažemo, da sta odločitveni problem obstoja ▫$k$▫-razsežne degenerirane predstavitve z enotsko razdaljo in odločitveni problem obstoja ▫$k$▫-razsežne degenerirane koordinatizacije z enotsko razdaljo za dani graf NP-polna problema. V zadnjem delu disertacije predstavimo hevristiko za "risanje" grafov z enotsko razdaljo, ki temelji na algoritmu SPE, ki ga je leta 2003 predstavil D. K. Agrafiotis. Definiramo dilacijski koeficient in predstavimo teoretično dobljene meje zanj. Teoretične rezultate primerjamo z rezultati dobljenimi z algoritmom za risanje grafov, ki temelji na simulaciji fizikalnega modela z vzmetmi in z algoritmom, ki s pomočjo lokalne optimizacije minimizira dilacijski koeficient. Sedmo poglavje povzema rezultate objavljene v članku [B. Horvat, T. Pisanski, A. Žitnik: The dilation coefficient of a complete graph, Croat. Chem. Acta, (sprejeto), 2009].B. Horvat20092024-05-27 09:46:19Doktorska disertacija158157sl