Poincaréjeva dualnost v de Rhamovi kohomologijiČepič, Andraž (Avtor) Strle, Sašo (Mentor) de Rhamova kohomologijadiferencialne formemnogoterostiV delu predstavimo koncept ovojnih števil in potencialnih polj iz analize ter razvijemo de Rhamovo teorijo, ki posploši tovrstna vprašanja in koncepte na gladke mnogoterosti. Osrednji objekti so kohomološki vektorski prostori, ki v posebnem primeru klasične vektorske analize na primer povedo, v kolikšni meri je na nekem poljubnem območju irotacijsko vektorsko polje tudi potencialno. Glavni rezultat je Poincaréjeva dualnost, ki na intuitivnem nivoju pravi, da je za sklenjeno orientabilno mnogoterost dimenzije $n$ dualni prostor kohomološkega prostora v dimenziji $k$ kar kohomološki prostor v dimenziji $n - k$. Začnemo s hitrim pregledom najpomemb- nejših osnov gladkih mnogoterosti in z definicijo diferencialnih form, ki so vir bogate algebraične strukture v središču de Rhamove teorije. Posplošimo Riemannov inte- gral na integriranje po gladkih mnogoterostih in dokažemo splošen Stokesov izrek. Razvijemo osnovno de Rhamovo teorijo, kjer vpeljemo Mayer-Vietorisovo zaporedje, ki je močno računsko orodje, hkrati pa pokažemo, da je teorija homotopsko inva- riantna. Na tej točki izračunamo kohomologijo evklidskega prostora in dokažemo Poincaréjevo lemo. Kot primer uporabe dokažemo Brouwerjev izrek o negibni točki in na koncu dokažemo Poincaréjevo dualnost.20222022-09-21 08:15:06Delo diplomskega seminarja/zaključno seminarsko delo/naloga140909sl