Eliptične krivulje in kompleksni torusiJenko, Izak (Avtor) Strle, Sašo (Mentor) eliptične krivuljeeliptične funkcijekompleksni torusiWeierstrassova funkcija $\wp$j-invariantamodularne funkcijeEliptična krivulja nad poljem kompleksnih števil $\mathbb{C}$ je nesingularna projektivna kubika, podana z Weierstrassovo enačbo. S pomočjo izreka o implicitni funkciji pokažemo, da ta dopušča kompleksno strukturo, kar pomeni, da postane Riemannova ploskev. Po drugi strani vsak torus, predstavljen kot kvocient $\mathbb{C}$ po mreži $\Lambda$ - diskretni podgrupi $\mathbb{C}$ izomorfni $\mathbb{Z}^2$, podeduje kompleksno strukturo preko kvocientne preslikave in tako pojasni imenovanje kompleksni torus. Izkaže se, da ti dve, bistveno različni konstrukciji, presenetljivo porodita enaka oz. izomorfna matematična objekta. To vez razložimo preko teorije dvojno periodičnih funkcij, imenovanih eliptične funkcije, in modularnih funkcij z mnogo simetrije, povezane z modularno grupo $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$. Obravnavamo njihove osnovne lastnosti in razvijemo teorijo Weierstrassove funkcije $\wp$, ki nam nazadnje omogoči eksplicitno podati omenjeni izomorfizem in dokazati uniformizacijski izrek, ki združuje oba objekta.20222022-09-02 08:15:16Delo diplomskega seminarja/zaključno seminarsko delo/naloga139404sl