Trikotniki, vložljivi v celoštevilsko mrežoŠenica, Ana (Avtor) Vavpetič, Aleš (Mentor) vložljivostceloštevilska mrežatrikotniktrikotniška enačbakvaternionipodobnostna preslikava$n$-simpleksV diplomski nalogi si bomo ogledali karakterizacijo vložljivosti trikotnikov v celoštevilske mreže ${\mathbb Z}^n$ za $n \geq 2$. Pri tem bomo rekli, da je trikotnik vložljiv v ${\mathbb Z}^n$, če je podoben kakšnemu trikotniku v ${\mathbb R}^n$, ki ima oglišča s celoštevilskimi koordinatami. Videli bomo, da je trikotnik vložljiv v ${\mathbb Z}^2$ natanko tedaj, ko so tangensi vseh treh kotov trikotnika racionalna števila ali $\infty$. Enakostranični trikotnik je primer trikotnika, vložljivega v ${\mathbb Z}^3$, ne pa tudi v ${\mathbb Z}^2$. Dokazali bomo, da je trikotnik vložljiv v ${\mathbb Z}^3$ natanko tedaj, ko je vložljiv v ${\mathbb Z}^4$. Kriterij za vložljivost trikotnika v ${\mathbb Z}^4$ (in s tem v ${\mathbb Z}^3$) je, da so tangensi vseh njegovih kotov oblike $\tan{\alpha_i} = q_i \sqrt{k}$, kjer je $k \in {\mathbb Z}$ vsota treh kvadratov celih števil in $q_i \in {\mathbb Q} \cup \{\infty\}$. Izpeljali ga bomo na dva načina, pri čemer si bomo pomagali s podobnostnimi preslikavami, kvaternioni in trikotniškimi enačbami. Obstajajo trikotniki, vložljivi v ${\mathbb Z}^5$, ne pa tudi v ${\mathbb Z}^4$. Za višje dimenzije pa velja, da je trikotnik vložljiv v ${\mathbb Z}^n$ za $n \geq 5$ natanko tedaj, ko je vložljiv v ${\mathbb Z}^5$.20212021-09-09 08:15:12Delo diplomskega seminarja/zaključno seminarsko delo/naloga129883sl