Razumevanje matematičnih dokazov in veljavnosti dokazov v osnovni šoliCerar, Manca (Avtor) Magajna, Zlatan (Mentor) Mastnak, Adrijana (Komentor) dokazUčenci se v zadnjem triletju osnovne šole srečajo z utemeljitvami ali argumentacijami. Te so lahko neformalne in temeljijo na argumentih, ki imajo ali pa nimajo matematične veljave, ali pa tudi preprostejše formalne. Temeljna vloga matematičnega dokaza pri pouku je spodbujanje matematičnega razumevanja, saj je dokaz najbolj prepričljiv, ko vodi do razumevanja. Pomembna matematična aktivnost je tudi prepoznavanje veljavnosti dokaza, ki zajema premislek o tem, ali je domnevni dokaz matematično pravilen in ali vključuje ustrezno logično matematično sklepanje. Raziskave so pokazale, da učenci ne čutijo potrebe po dokazovanju, doživljajo postopek dokazovanja kot težak in imajo največ težav ravno pri nalogah, ki zahtevajo utemeljevanje in dokazovanje trditev. V teoretičnem delu magistrskega dela smo obravnavali pojem matematičnega dokaza ter opisali njegovo vlogo pri matematiki in pri učenju matematike. Obravnavali smo pomen in vključevanje dokaza pri pouku ter predstavili kognitivne procese pri dokazovanju z vidika učenčevega razvoja. Predstavili smo različne funkcije dokaza v matematiki in pri pouku matematike, kognitivne vidike dokazovanja ter težave učencev pri učenju dokazov in dokazovanju. Predstavili smo tudi dve klasifikaciji matematičnih dokazov: klasifikacijo po Tallu in klasifikacijo glede strogosti utemeljitve. V empiričnem delu magistrskega dela smo uporabili kvantitativni in kvalitativni pristop za ugotavljanje izbranih vidikov dokazovanja v osnovnošolski matematiki. Zaradi vpliva učbenika kot vodila znanja na učence smo po dveh izbranih klasifikacijah analizirali zastopanost različnih vrst utemeljitev v najbolj razširjenih učbenikih za matematiko v zadnjem triletju osnovne šole. Analiza učbenikov »Skrivnosti števil in oblik« je pokazala, da je po klasifikaciji po Tallu v učbenike vključenih največ vizualnih dokazov, torej utemeljitev, ki imajo slikovno in verbalno podporo. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je v učbenike vključenih največ generičnih dokazov. Najmanj vključenih utemeljitev po klasifikaciji po Tallu je enaktivnih dokazov, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa utemeljitev z avtoriteto. Glede na vključenost utemeljitev pri različnih temah je največ utemeljitev vključenih pri temi geometrija in merjenje. Vzorec raziskave je predstavljalo 49 devetošolcev iz dveh različnih slovenskih osnovnih šol. Od tega je bilo v vzorcu 27 učno zmožnejših in 22 učno šibkejših učencev. S preizkusom znanja smo raziskali, ali učenci osnovnih šol sprejmejo in prepoznajo veljavnost utemeljitve matematičnega dejstva, torej nas je zanimalo, ali učenci razlikujejo med formalnim dokazom in neformalnimi utemeljitvami. Prav tako smo raziskali, ali razumejo različne vrste utemeljitev po dveh izbranih klasifikacijah. Podatki, zbrani s preizkusom znanja, so pokazali, da imajo učenci težave pri sprejemanju in prepoznavanju veljavnosti utemeljitev, saj je velik delež učencev kot veljavne utemeljitve prepoznalo večino vrst utemeljitev na preizkusu znanja. Kot najbolj razumljive vrste utemeljitev je največji delež učencev po klasifikaciji po Tallu prepoznal enaktivne utemeljitve, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa utemeljitev z avtoriteto in utemeljitev s sliko. Kot najmanj razumljivi vrsti utemeljitev pa je največji delež učencev po klasifikaciji po Tallu prepoznal manipulativni dokaz, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa formalni dokaz. Statistična analiza podatkov je pokazala, da obstajajo statistično pomembne razlike med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci glede prepoznavanja ter sprejemanja veljavnosti in razumevanja različnih vrst utemeljitev glede na izbrani klasifikaciji. Z anketnim vprašalnikom smo raziskali stališča učencev o dokazih in dokazovanju pri pouku matematike. Malo več kot polovici učencev je težko podati utemeljitev neke matematične izjave, a hkrati menijo, da imajo dovolj znanja za razumevanje dokaza neke matematične izjave. Največji delež učencev se najmanj strinja s trditvijo, da običajno težko razumejo dokaz, ki ga učitelj predstavi pri pouku. Večji delež učencev ve, kaj je pri matematiki dokaz in kako je ta videti, ter zna presoditi, ali je nek dokaz pravilen ali ne. Učenci so izkazali želje po dokazih in dokazovanju pri matematiki. Več kot polovica učencev si želi, da bi se pri pouku predstavilo in opisalo več dokazov matematičnih izjav, pogovarjalo o resničnosti matematičnih izjav ter reševalo naloge, kjer se dokaže neko matematično izjavo. Zelo velik delež učencev si želi, da bi šolski učbenik vključeval več dokazov matematičnih izjav, in meni, da so dokazi zanimivi. Malo manj kot polovica učencev se strinja, da jim učitelj pri pouku pove, zakaj sploh dokazujemo matematične izjave, in meni, da če učitelj pri pouku matematično izjavo napiše na tablo, je trditev s tem že dokazana. Prav tako večji delež učencev meni, da so dokazi le za učence z boljšimi ocenami in da matematične izjave ni treba dokazati, če je zapisana v učbeniku. Velik delež učencev meni, da poznajo namen dokazovanja v matematiki, in se strinja, da je dokaz v matematiki pomemben, ker z njim zagotovimo resničnost izjave in ker nam razloži, zakaj neka trditev drži. S podatki, zbranimi s pomočjo anketnega vprašalnika, smo raziskali tudi, ali obstajajo statistično pomembne razlike med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci glede stališč o dokazih in dokazovanju pri pouku matematike. Zbrani podatki so pokazali, da je večjemu deležu učno šibkejših učencev težje podati utemeljitev neke matematične izjave, da običajno težje razumejo dokaz, ki ga učitelj predstavi pri pouku, ter da se jim zdi, da nimajo dovolj znanja, da bi razumeli dokaz neke matematične izjave. Večji delež učno zmožnejših učencev se bolj od učno šibkejših učencev strinja, da vedo, kaj je pri matematiki dokaz in kako je ta videti, ter da običajno znajo presoditi, ali je nek dokaz pravilen ali ne. Večji delež učno zmožnejših učencev je pokazal večjo željo po tem, da bi šolski učbenik in pouk matematike vključevala več dokazov matematičnih izjav in nalog, kjer se dokaže neko matematično trditev. Večji delež učno šibkejših učencev se strinja, da če učitelj pri pouku neko trditev zapiše na tablo ali pa če je matematična izjava zapisana v učbeniku, te ni treba dokazati, saj je s tem že dokazana. Večji delež učno zmožnejših učencev se bolj od učno šibkejših učencev zaveda namena dokazovanja pri matematiki in pomembnosti dokaza, da z njim zagotovimo resničnost izjave in razložimo, zakaj neka trditev drži. Večji delež učno šibkejših učencev se bolj od učno zmožnejših učencev strinja, da dokazi niso pomembni za dobro znanje matematike ter da so dokazi le za učence z boljšimi ocenami. Tako učno zmožnejši kot učno šibkejši učenci so pokazali podobno stopnjo strinjanja s tem, da jim učitelj pri pouku pove, zakaj sploh dokazujemo matematične izjave.20212021-05-22 04:25:42Magistrsko delo/naloga127183sl