Teorija umeritvenih polj, Yang-Mills-Higgsove enačbe in spinske strukture na Lorentzovih mnogoterostihGrad, Žan (Avtor) Strle, Sašo (Mentor) glavni sveženjumeritevpovezavaukrivljenostpridružen vektorski sveženjvzporedni prenoskovariantni odvodHodge-䀗 operatorYang–Millsova teorijaLagrangianvariacijski principDiracova enačbaLorentzova grupaspinorsko poljeTeorija umeritvenih polj ponuja geometrijsko bogat teoretičnofizikalni skelet, v katerem simetrije narekujejo interakcije. V pričujočem delu začnemo pri osnovah glavnih svežnjev in natančno predstavimo splošen pojem povezave na njih. Pokažemo, da povezava naravno porodi pojma ukrivljenosti in kovariantnega odvoda na pridruženem vektorskem svežnju glede na dano upodobitev strukturne Liejeve grupe, raziščemo njune lastnosti ter natančno definiramo pojem umeritvenega polja ter njegove jakosti. Pri tem izrazimo vpliv umeritvenih transformacij nanju in pokažemo, kako lahko ukrivljenost na glavnem svežnju identificiramo z diferencialno formo, ki ima vrednosti v adjungiranem svežnju. Ukrivljenost povezave je -- skupaj s Hodge-* operatorjem, vnanjim kovariantnim odvodom in variacijskim principom -- osnova naše razprave o Yang--Millsovi teoriji, ki jo interpretiramo kot teorijo interakcije polja umeritvenih bozonov (tj. nosilcev fundamentalnih fizikalnih sil) s samim sabo. V tem kontekstu pokažemo umeritveno invariantnost Yang--Millsovega Lagrangiana in izpeljemo Yang--Millsovo enačbo, ki jo interpretiramo (skupaj z Bianchijevo identiteto) kot posplošitev Maxwellovih enačb. Z umestitvijo posplošenega Klein--Gordonovega Lagrangiana v ta kontekst izpeljemo Yang--Mills--Higgsove enačbe, ki opisujejo interakcijo polja umeritvenih bozonov s skalarnim poljem. Posledica teh enačb je proslavljeni Brout--Englert--Higgsov mehanizem, ki ga na kratko orišemo. Skozi fizikalno motivirano študijo Lorentzove grupe in njenega univerzalnega krova nazadnje naravno vpeljemo koncept spinske strukture na Lorentzovo mnogoterost -- to nam omogoča, da umestimo Levi--Civitajevo afino povezavo na pridružen spinorski sveženj, kar nam dalje omogoča, da natančno definiramo Diracov operator na Lorentzovi mnogoterosti. S pridobitvijo osnovnih lastnosti Cliffordovega množenja dokažemo sebiadjungiranost Diracovega operatorja glede na skalarni produkt, ki ga porodi Diracova hermitska forma. Z uporabo variacijskega računa rigorozno izpeljemo Diracovo enačbo na spinski Lorentzovi mnogoterosti. Za konec orišemo konstrukcijo spoja glavnega spin svežnja z glavnim umeritvenim svežnjem in povemo, kako nas to privede do nehomogene Yang--Millsove enačbe, ki v fiziki opisuje interakcije fermionov z umeritvenimi polji.20202020-09-12 08:15:04Magistrsko delo/naloga119853sl