Riemannova funkcija ζ in razporeditev praštevilBrilej, Katarina (Avtor) Magajna, Bojan (Mentor) Riemannova funkcija zetaPoissonova sumacijska formulaizrek o praštevilihneskončne vrsteneskončni produktiEulerjev produktRiemannovo funkcijo zeta definiramo kot funkcijo kompleksne spremenljivke $s$, in sicer z vrsto $\zeta(s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$ za $\operatorname{Re}s > 1 $, nato pa jo analitično razširimo na ${\mathbb C} \setminus \{1\}$. Pri tem si pomagamo s funkcijsko enačbo, v kateri je pomembna vloga funkcije gama. Tako razširjena funkcija zeta ima v točki 1 pol stopnje 1, v točkah $-2, -4, -6, \; \dots$ pa tako imenovane trivialne ničle. V nadaljavanju Riemannovo funkcijo zeta izrazimo kot neskončen produkt, imenovan Eulerjev produkt, in pokažemo, da $\zeta$ nima ničel na polravnini $\operatorname{Re}s \geq 1$. To dejstvo uporabimo v dokazu praštevilskega izreka, ki govori o asimptotični ekvivalenci funkcij $\pi (x)$ in $x / \ln(x)$, kjer s $\pi (x) $ označimo število praštevil, ki so manjša ali enaka danemu pozitivnemu realnemu številu $x$.20192019-09-12 07:46:21Delo diplomskega seminarja/zaključno seminarsko delo/naloga110107sl