Krivulje z Minkowskijevim pitagorejskim hodografom : magistrsko delo

Melinc, Teja (avtor), Knez, Marjetka (mentor)

Magistrsko delo obravnava poseben tip polinomskih krivulj v prostoru Minkowskega ${\mathbb R}^{2,1}$. Polinomske krivulje je smiselno razviti po Bernsteinovi bazi, kar privede do tako imenovanih Bézierjevih krivulj, za katere poznamo de Casteljaujev algoritem za stabilno računanje točk na krivulji pri danih parametrih. V delu predstavimo prostor Minkowskega ${\mathbb R}^{2,1}$ in posebno skupino krivulj imenovano krivulje s Minkowskijevim pitagorejskim hodografom (MPH krivulje). To so polinomske krivulje iz ${\mathbb R}^{2,1}$, za katere velja, da je parametrična hitrost v Minkowskijevi metriki tudi polinomska. Izkaže se, da so MPH krivulje primerne za reprezentacijo transformacije medialne osi ravninske domene, saj lahko z njihovo uporabo rob območja zapišemo z racionalno krivuljo. MPH krivulje lahko predstavimo s pomočjo elementov Cliffordove algebre, kar nam je v pomoč pri izpeljavi $C^1$ in $C^2$ Hermiteovih interpolacijskih shem. Lema o razbitju domene nam pove, da lahko zahtevna območja razbijemo na manjša in preprostejša območja, na katerih lahko preprosto aproksimiramo rob, nato pa dobljene rezultate le zlepimo skupaj. Posamezni deli so med seboj neodvisni, za aproksimacijo pa lahko izberemo poljubno aproksimacijsko shemo. Predstavi se algoritem, ki danemu območju z $G^1$ interpolacijsko shemo aproksimira rob glede na vnaprej predpisano toleranco.

• Jezik: Slovenski jezik
• Ključne besede: polinomske krivulje, prostor Minkowskega, transformacija medialne osi, krivulje z Minkowskijevim pitagorejskim hodografom, Cliffordova algebra, interpolacija, aproksimacija
• Vrsta gradiva: Magistrsko delo/naloga
• Tipologija: 2.09 - Magistrsko delo
• Organizacija: FMF - Fakulteta za matematiko in fiziko
• Leto izida: 2022
• PID: 20.500.12556/RUL-140595
• UDK: 519.6
• COBISS.SI-ID: 122468867
• Datum objave v RUL: 16.09.2022

MELINC, Teja, 2022, Krivulje z Minkowskijevim pitagorejskim hodografom : magistrsko delo [na spletu]. Magistrsko delo. [Dostopano 14 april 2025]. Pridobljeno s: https://repozitorij.uni-lj.si/IzpisGradiva.php?lang=slv&id=140595

Sekundarni jezik

• Jezik: Angleški jezik
• Naslov: Minkowski Pythagorean hodograph curves

Izvleček

Master thesis considers a special set of polynomial curves in Minkowski space ${\mathbb R}^{2,1}$. A good way to present polynomial curves is to use Bernstein basis, which leads to Bézier curves for which there exists an algorithm that stably computes the point on the curve for a given parameter $t$. We present Minkowski space ${\mathbb R}^{2,1}$ and a special set of curves named Minkowski Pythagorean hodograph curves (shorter MPH curves). These are polynomial curves from ${\mathbb R}^{2,1}$ whose speed measured under the Minkowski metric is a polynomial. These curves are appropriate for the representation of the medial axis transform of a planar domain since in this case the boundary of the domain is represented by a rational curve. MPH curves can be represented with elements of Clifford algebra, which is helpful in the derivation of the approximation scheme for $C^1$ and $C^2$ Hermite interpolation. The domain decomposition lemma says that complicated domains can be decomposed into smaller and simpler domains on which we can approximate the boundary and then only join these solutions together. Individual parts are independent and we can take any interpolation scheme for the approximation of the boundary. In this thesis, we present an algorithm which approximates the boundary of a given domain with the $G^1$ interpolation scheme within the prescribed error tolerance.

• Ključne besede: polynomial curves, Minkowski space, medial axis transform, Minkowski Pythagorean hodograph curves, Clifford algebra, interpolation, aproximation