Aproksimacija mnogoterosti z mehkimi simplicialnimi množicami in njena implementacija v algoritmu UMAP

Urbančič, Živa (avtor), Mramor-Kosta, Neža (mentor)

Motivacija zaključnega dela izvira iz algoritma UMAP (ang. "Uniform Manifold Approximation and Projection") za zmanjševanje dimenzij, ki so ga leta 2018 v svojem članku predstavili L. McInnes, J. Healy in J. Melville. Obravnavali bomo njegovo interpretacijo kot poseben primer uporabe mehkih simplicialnih množic za aproksimacijo mnogoterosti, ki ga ločuje od drugih metod s področja učenja mnogoterosti. Do definicije mehkih simplicialnih množic bomo prišli s postopnim posploševanjem pojma simplicialnega kompleksa, pri čemer bomo vseskozi uporabljali jezik teorije kategorij. Aproksimacijo mnogoterosti podatkov bomo opisali s posplošitvijo funktorjev singularne množice in geometrijske realizacije za kategorijo omejenih mehkih simplicialnih množic ${\cal F}in$-$s{\cal F}uzz$ in kategorijo končnih razširjenih psevdometričnih prostorov ${\cal F}in{\cal EPM}et$ ter predstavili njeno implementacijo v algoritmu UMAP.

• Jezik: Slovenski jezik
• Ključne besede: aproksimacija mnogoterosti, mehke simplicialne množice, zmanjševanje dimenzij, teorija kategorij, topološka analiza podatkov
• Vrsta gradiva: Magistrsko delo/naloga
• Tipologija: 2.09 - Magistrsko delo
• Organizacija: FMF - Fakulteta za matematiko in fiziko
• Leto izida: 2020
• PID: 20.500.12556/RUL-120124
• COBISS.SI-ID: 28387587
• Datum objave v RUL: 16.09.2020

URBANČIČ, Živa, 2020, Aproksimacija mnogoterosti z mehkimi simplicialnimi množicami in njena implementacija v algoritmu UMAP [na spletu]. Magistrsko delo. [Dostopano 4 april 2025]. Pridobljeno s: https://repozitorij.uni-lj.si/IzpisGradiva.php?lang=slv&id=120124

Sekundarni jezik

• Jezik: Angleški jezik
• Naslov: Manifold Approximation with Fuzzy Simplicial Sets and its Implementation in the UMAP Algorithm

Izvleček

The motivation of the work stems from the dimensionality reduction algorithm UMAP (``Uniform Manifold Approximation and Projection'' Algorithm) which was introduced in 2018 by L. McInnes, J. Healy and J. Melville. We will address its interpretation as a special case of manifold approximation using fuzzy simplicial sets, which sets it appart from the other manifold learning methods. The definition of a fuzzy simplicial set will arise by gradual generalization of simplicial complexes, using the language of category theory. By generalization of the singular set and geometric realization functors to the categoriess ${\cal F}in$-$s{\cal F}uzz$ of bounded fuzzy simplicial sets and ${\cal F}in{\cal EPM}et$ of finite extended pseudo-metric spaces we will describe the manifold approximation in a functorial way and discuss its implementation in the UMAP algorithm.

• Ključne besede: manifold approximation, fuzzy simplicial sets, dimensionality reduction, category theory, topological data analysis